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Zykel: Aussagen in Zykeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 11.11.2012
Autor: Expo

Aufgabe
Sei  p= [mm] (a_{0}.... a_{k-1}) [/mm] € [mm] S_{n} [/mm] ein Zykel in [mm] S_{n} [/mm] und  h€Sn beliebig. Beweisen Sie:
(1)  h ° [mm] (a_{0}....a_{k-1}) [/mm] ° [mm] h^{-1} [/mm]  = [mm] (h(a_{0}) ....h(a_{k-1})). [/mm]
(2) Sei (G;°) eine Gruppe. Wir definieren
          Z(G) := {z€G | z ° g = g ° z für alle € G}
(a) (G;°) ist ablesch [mm] \gdw [/mm] Z(G) = G.
(b) [mm] Z(S_{n}) [/mm] = [mm] S_{n} [/mm] für n = 1 oder n = 2.
(c) [mm] Z(S_{n}) [/mm] = {1} für n > 2.

(3) [mm] S_{n} [/mm] ist abelsch [mm] \gdw [/mm] n = 1 oder n = 2.

Guten Tag,
1)
Hier fehlt mir leider der Ansatz

Zu 2a)
Wenn die Gruppe abelsch ist gilt a ° b = b ° a [mm] \forall [/mm] a,b € G.
Daraus folgt das alle Elemente die Bedingung a ° b = b ° a erfüllen, genau wenn diese Bedingung erfüllt ist  a€ z(G).

2b) |G|=1 folgt G ={e}
e ° e = e = e ° e
|G|=2 ; G= {e,a}
e ° a = a = a ° e

2c)
Was muss ich hier genau zeigen?
Wenn [mm] |S_{n}|> [/mm] 2 dann gibt es nur ein Element welches die Bedingung
a ° b = b ° a erfült. Aber dies gilt nicht für alle Zykel.

3)
Diese Aussage ist Aquivalent zu 2b), da Z(x) alle Elemente aus x enthält die sind. siehe 2a).


        
Bezug
Zykel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 So 11.11.2012
Autor: wieschoo

Moin,
> Sei  p= [mm](a_{0}.... a_{k-1})[/mm] € [mm]S_{n}[/mm] ein Zykel in [mm]S_{n}[/mm]
> und  h€Sn beliebig. Beweisen Sie:
>  (1)  h ° [mm](a_{0}....a_{k-1})[/mm] ° [mm]h^{-1}[/mm]  = [mm](h(a_{0}) ....h(a_{k-1})).[/mm]
>  
> (2) Sei (G;°) eine Gruppe. Wir definieren
>            Z(G) := {z€G | z ° g = g ° z für alle €
> G}
>  (a) (G;°) ist ablesch [mm]\gdw[/mm] Z(G) = G.
>  (b) [mm]Z(S_{n})[/mm] = [mm]S_{n}[/mm] für n = 1 oder n = 2.
>  (c) [mm]Z(S_{n})[/mm] = {1} für n > 2.

>  
> (3) [mm]S_{n}[/mm] ist abelsch [mm]\gdw[/mm] n = 1 oder n = 2.
>  Guten Tag,
>  1)
>  Hier fehlt mir leider der Ansatz

Aber ein Beispiel hast du schon gerechnet? Falls nicht dann solltest du dies nachholen.

Ansatz:
Sei [mm]\tau \in S_n[/mm]
Eine Permutation [mm]\pi\in S_n[/mm] kann als k-Zykel (Zyklus, Zykle ,... ) dargestellt werden, d.h. [mm]\pi = (a_1 \; a_2 \; a_3 \; \ldots \; a_k)[/mm]. Dabei ist [mm]\pi(a_i)=a_{i+1 \mod k}[/mm]. Desweiteren ist [mm]\tau^{-1}\tau (a_i)=a_i[/mm]

Berechne [mm]\tau\pi\tau (\tau(a_i))[/mm] ?
Was ist mit [mm]\tau\pi\tau (j)[/mm], falls j nicht im Zykel [mm]\pi[/mm] vorhanden ist?

>  
> Zu 2a)
>  Wenn die Gruppe abelsch ist gilt a ° b = b ° a [mm]\forall[/mm]
> a,b € G.
>  Daraus folgt das alle Elemente die Bedingung a ° b = b °
> a erfüllen, genau wenn diese Bedingung erfüllt ist  a€
> z(G).

Ich weiß nicht, wie genau ihr das beweisen sollt.
Bisher hast du nur begründet [mm]G\le Z(G)[/mm]. Die andere Richtung "[mm]Z(G)\le G[/mm]" müsste auch begründet werden. Ein sauberer Beweis ist es m.E. nicht.

>  
> 2b) |G|=1 folgt G ={e}
>  e ° e = e = e ° e

... also Z(G)=G

>  |G|=2 ; G= {e,a}
>  e ° a = a = a ° e

... also Z(G)=G

>

Ist so in Ordnung.

> 2c)
>  Was muss ich hier genau zeigen?
>  Wenn [mm]|S_{n}|>[/mm] 2 dann gibt es nur ein Element welches die
> Bedingung
> a ° b = b ° a erfült. Aber dies gilt nicht für alle
> Zykel.

Und genau das muss bewiesen für alle n>2 werden.

Du betrachtest die symmetrische Gruppe [mm]S_n[/mm] für [mm]n\ge 3[/mm].

1. Schritt) [mm]e\in Z(G)[/mm] (mehr oder weniger trivial)
2. Schritt) Nimm eine Permutation [mm] $\sigma [/mm] $und bastel eine [mm] $\tau$ [/mm] weitere, die nicht mit [mm] $\sigma$ [/mm] kommutiert.

>  
> 3)
>  Diese Aussage ist Aquivalent zu 2b), da Z(x) alle Elemente
> aus x enthält die sind. siehe 2a).

Du brauchst dafür auch noch 2c). Aber deine geschriebenes ist richtig.



Bezug
                
Bezug
Zykel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 So 11.11.2012
Autor: Expo

Danke für deine Antwort.
Allerdings habe ich noch einige Fragen.


> > Zu 2a)
>  >  Wenn die Gruppe abelsch ist gilt a ° b = b ° a
> [mm]\forall[/mm]
> > a,b € G.
>  >  Daraus folgt das alle Elemente die Bedingung a ° b = b
> °
> > a erfüllen, genau wenn diese Bedingung erfüllt ist  a€
> > z(G).
>  Ich weiß nicht, wie genau ihr das beweisen sollt.
>  Bisher hast du nur begründet [mm]G\le Z(G)[/mm]. Die andere
> Richtung "[mm]Z(G)\le G[/mm]" müsste auch begründet werden. Ein
> sauberer Beweis ist es m.E. nicht.

Wieso ist das nicht Ausreichend wenn (G ° ) abelsch, dann erfüllen alle Elemente die Bedingung für Z(G). Wenn alle Elemente die in G = Z(G) dann erfüllen alle Elemente aus G die Bedingung a ° b = b ° a und wenn dies gilt dann ist die Gruppe laut def. ablesch.

Bei 2c)
Wenn ich dich richtig verstehe soll ich mir S Gruppe mit z.B. 3 Elementen bauen.

[mm] \pmat{ a & b & c \\ c & a & b} [/mm]

und ein weiteres

[mm] \pmat{ a & b & c \\ b & c & a} [/mm]

Ok kann ich es für ein Beispiel zeigen aber nicht für alle.


Bezug
                        
Bezug
Zykel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 So 11.11.2012
Autor: Expo


>  
> [mm]\pmat{ a & b & e \\ e & a & b}[/mm]
>  
> und ein weiteres
>
> [mm]\pmat{ a & b & e \\ b & e & a}[/mm]
>  


Bezug
                        
Bezug
Zykel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 So 11.11.2012
Autor: wieschoo


> Wenn ich dich richtig verstehe soll ich mir S Gruppe mit z.B. 3 Elementen bauen.

Nein du sollst es ja für [mm] $S_n$ [/mm] und all n>2 zeigen. [mm] $S_n$ [/mm] hat in diesen Fällen mehr als 3 Elemente. Vielmehr sollst du zu jedem Element [mm] $\pi\in S_n$ [/mm] explizit ein Element [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] angeben, welches nicht mit [mm] $\pi$ [/mm] kommutiert, d.h.

[mm] $\pi\circ\tau \neq \tau\circ\pi$ [/mm]


2c)

Um zu zeigen, dass [mm]Z(S_n)=\{e\}[/mm] für n>2 ist musst du zeigen, dass

i) [mm]e\in Z(S_n)[/mm] liegt
ii) und keine weiteren Elemente in [mm]Z(S_n)[/mm] liegen. Also für beliebige Permutationen [mm]\pi\in S_n[/mm] gibt es stets eine Permutation [mm]\tau[/mm], die nicht mit [mm]\pi[/mm] kommutiert.


Bezug
                                
Bezug
Zykel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 So 11.11.2012
Autor: Expo

i) Da (Sn) eine Gruppe ist exestiert eine e für welches gilt:
a ° e =a= e ° a

ii) Grundsätzlich verstehe ich deine Ausfürung ich möchte ein zu einer beliebigen Permutation einen nicht Kommutative Permation finden.

(r ° [mm] \pi [/mm] ° [mm] r^{-1}) [/mm] (i) =r ( [mm] \pi [/mm] (i)) = k
[mm] \pi [/mm] ( i) = j

Aber was soll mir das sagen ?

Bezug
                                        
Bezug
Zykel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 11.11.2012
Autor: wieschoo


> i) Da (Sn) eine Gruppe ist exestiert eine e für welches
> gilt:
>  a ° e =a= e ° a
>

ok.

> ii) Grundsätzlich verstehe ich deine Ausfürung ich
> möchte ein zu einer beliebigen Permutation einen nicht
> Kommutative Permation finden.
>  
> (r ° [mm]\pi[/mm] ° [mm]r^{-1})[/mm] (i) =r ( [mm]\pi[/mm] (i)) = k
>  [mm]\pi[/mm] ( i) = j
>  

Dann ist [mm]\rho \pi \rho ^{-1}(i)=k\neq j=\pi(i)[/mm]

Würden [mm]\rho[/mm] und [mm]\pi[/mm] kommutieren, so wäre [mm]\rho\pi\rho^{-1}=\pi[/mm]. Das ist aber nicht der Fall. Da [mm] $\pi$ [/mm] beliebig war, ...

Bezug
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