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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 11.11.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Sei p= [mm] (a_{0}.... a_{k-1}) [/mm] € [mm] S_{n} [/mm] ein Zykel in [mm] S_{n} [/mm] und h€Sn beliebig. Beweisen Sie:
(1) h ° [mm] (a_{0}....a_{k-1}) [/mm] ° [mm] h^{-1} [/mm] = [mm] (h(a_{0}) ....h(a_{k-1})).
[/mm]
(2) Sei (G;°) eine Gruppe. Wir definieren
Z(G) := {z€G | z ° g = g ° z für alle € G}
(a) (G;°) ist ablesch [mm] \gdw [/mm] Z(G) = G.
(b) [mm] Z(S_{n}) [/mm] = [mm] S_{n} [/mm] für n = 1 oder n = 2.
(c) [mm] Z(S_{n}) [/mm] = {1} für n > 2.
(3) [mm] S_{n} [/mm] ist abelsch [mm] \gdw [/mm] n = 1 oder n = 2. |
Guten Tag,
1)
Hier fehlt mir leider der Ansatz
Zu 2a)
Wenn die Gruppe abelsch ist gilt a ° b = b ° a [mm] \forall [/mm] a,b € G.
Daraus folgt das alle Elemente die Bedingung a ° b = b ° a erfüllen, genau wenn diese Bedingung erfüllt ist a€ z(G).
2b) |G|=1 folgt G ={e}
e ° e = e = e ° e
|G|=2 ; G= {e,a}
e ° a = a = a ° e
2c)
Was muss ich hier genau zeigen?
Wenn [mm] |S_{n}|> [/mm] 2 dann gibt es nur ein Element welches die Bedingung
a ° b = b ° a erfült. Aber dies gilt nicht für alle Zykel.
3)
Diese Aussage ist Aquivalent zu 2b), da Z(x) alle Elemente aus x enthält die sind. siehe 2a).
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Moin,
> Sei p= [mm](a_{0}.... a_{k-1})[/mm] € [mm]S_{n}[/mm] ein Zykel in [mm]S_{n}[/mm]
> und h€Sn beliebig. Beweisen Sie:
> (1) h ° [mm](a_{0}....a_{k-1})[/mm] ° [mm]h^{-1}[/mm] = [mm](h(a_{0}) ....h(a_{k-1})).[/mm]
>
> (2) Sei (G;°) eine Gruppe. Wir definieren
> Z(G) := {z€G | z ° g = g ° z für alle €
> G}
> (a) (G;°) ist ablesch [mm]\gdw[/mm] Z(G) = G.
> (b) [mm]Z(S_{n})[/mm] = [mm]S_{n}[/mm] für n = 1 oder n = 2.
> (c) [mm]Z(S_{n})[/mm] = {1} für n > 2.
>
> (3) [mm]S_{n}[/mm] ist abelsch [mm]\gdw[/mm] n = 1 oder n = 2.
> Guten Tag,
> 1)
> Hier fehlt mir leider der Ansatz
Aber ein Beispiel hast du schon gerechnet? Falls nicht dann solltest du dies nachholen.
Ansatz:
Sei [mm]\tau \in S_n[/mm]
Eine Permutation [mm]\pi\in S_n[/mm] kann als k-Zykel (Zyklus, Zykle ,... ) dargestellt werden, d.h. [mm]\pi = (a_1 \; a_2 \; a_3 \; \ldots \; a_k)[/mm]. Dabei ist [mm]\pi(a_i)=a_{i+1 \mod k}[/mm]. Desweiteren ist [mm]\tau^{-1}\tau (a_i)=a_i[/mm]
Berechne [mm]\tau\pi\tau (\tau(a_i))[/mm] ?
Was ist mit [mm]\tau\pi\tau (j)[/mm], falls j nicht im Zykel [mm]\pi[/mm] vorhanden ist?
>
> Zu 2a)
> Wenn die Gruppe abelsch ist gilt a ° b = b ° a [mm]\forall[/mm]
> a,b € G.
> Daraus folgt das alle Elemente die Bedingung a ° b = b °
> a erfüllen, genau wenn diese Bedingung erfüllt ist a€
> z(G).
Ich weiß nicht, wie genau ihr das beweisen sollt.
Bisher hast du nur begründet [mm]G\le Z(G)[/mm]. Die andere Richtung "[mm]Z(G)\le G[/mm]" müsste auch begründet werden. Ein sauberer Beweis ist es m.E. nicht.
>
> 2b) |G|=1 folgt G ={e}
> e ° e = e = e ° e
... also Z(G)=G
> |G|=2 ; G= {e,a}
> e ° a = a = a ° e
... also Z(G)=G
>
Ist so in Ordnung.
> 2c)
> Was muss ich hier genau zeigen?
> Wenn [mm]|S_{n}|>[/mm] 2 dann gibt es nur ein Element welches die
> Bedingung
> a ° b = b ° a erfült. Aber dies gilt nicht für alle
> Zykel.
Und genau das muss bewiesen für alle n>2 werden.
Du betrachtest die symmetrische Gruppe [mm]S_n[/mm] für [mm]n\ge 3[/mm].
1. Schritt) [mm]e\in Z(G)[/mm] (mehr oder weniger trivial)
2. Schritt) Nimm eine Permutation [mm] $\sigma [/mm] $und bastel eine [mm] $\tau$ [/mm] weitere, die nicht mit [mm] $\sigma$ [/mm] kommutiert.
>
> 3)
> Diese Aussage ist Aquivalent zu 2b), da Z(x) alle Elemente
> aus x enthält die sind. siehe 2a).
Du brauchst dafür auch noch 2c). Aber deine geschriebenes ist richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 11.11.2012 | | Autor: | Expo |
Danke für deine Antwort.
Allerdings habe ich noch einige Fragen.
> > Zu 2a)
> > Wenn die Gruppe abelsch ist gilt a ° b = b ° a
> [mm]\forall[/mm]
> > a,b € G.
> > Daraus folgt das alle Elemente die Bedingung a ° b = b
> °
> > a erfüllen, genau wenn diese Bedingung erfüllt ist a€
> > z(G).
> Ich weiß nicht, wie genau ihr das beweisen sollt.
> Bisher hast du nur begründet [mm]G\le Z(G)[/mm]. Die andere
> Richtung "[mm]Z(G)\le G[/mm]" müsste auch begründet werden. Ein
> sauberer Beweis ist es m.E. nicht.
Wieso ist das nicht Ausreichend wenn (G ° ) abelsch, dann erfüllen alle Elemente die Bedingung für Z(G). Wenn alle Elemente die in G = Z(G) dann erfüllen alle Elemente aus G die Bedingung a ° b = b ° a und wenn dies gilt dann ist die Gruppe laut def. ablesch.
Bei 2c)
Wenn ich dich richtig verstehe soll ich mir S Gruppe mit z.B. 3 Elementen bauen.
[mm] \pmat{ a & b & c \\ c & a & b}
[/mm]
und ein weiteres
[mm] \pmat{ a & b & c \\ b & c & a}
[/mm]
Ok kann ich es für ein Beispiel zeigen aber nicht für alle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 11.11.2012 | | Autor: | Expo |
>
> [mm]\pmat{ a & b & e \\ e & a & b}[/mm]
>
> und ein weiteres
>
> [mm]\pmat{ a & b & e \\ b & e & a}[/mm]
>
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> Wenn ich dich richtig verstehe soll ich mir S Gruppe mit z.B. 3 Elementen bauen.
Nein du sollst es ja für [mm] $S_n$ [/mm] und all n>2 zeigen. [mm] $S_n$ [/mm] hat in diesen Fällen mehr als 3 Elemente. Vielmehr sollst du zu jedem Element [mm] $\pi\in S_n$ [/mm] explizit ein Element [mm] $\tau\in S_n$ [/mm] angeben, welches nicht mit [mm] $\pi$ [/mm] kommutiert, d.h.
[mm] $\pi\circ\tau \neq \tau\circ\pi$
[/mm]
2c)
Um zu zeigen, dass [mm]Z(S_n)=\{e\}[/mm] für n>2 ist musst du zeigen, dass
i) [mm]e\in Z(S_n)[/mm] liegt
ii) und keine weiteren Elemente in [mm]Z(S_n)[/mm] liegen. Also für beliebige Permutationen [mm]\pi\in S_n[/mm] gibt es stets eine Permutation [mm]\tau[/mm], die nicht mit [mm]\pi[/mm] kommutiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 11.11.2012 | | Autor: | Expo |
i) Da (Sn) eine Gruppe ist exestiert eine e für welches gilt:
a ° e =a= e ° a
ii) Grundsätzlich verstehe ich deine Ausfürung ich möchte ein zu einer beliebigen Permutation einen nicht Kommutative Permation finden.
(r ° [mm] \pi [/mm] ° [mm] r^{-1}) [/mm] (i) =r ( [mm] \pi [/mm] (i)) = k
[mm] \pi [/mm] ( i) = j
Aber was soll mir das sagen ?
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> i) Da (Sn) eine Gruppe ist exestiert eine e für welches
> gilt:
> a ° e =a= e ° a
>
ok.
> ii) Grundsätzlich verstehe ich deine Ausfürung ich
> möchte ein zu einer beliebigen Permutation einen nicht
> Kommutative Permation finden.
>
> (r ° [mm]\pi[/mm] ° [mm]r^{-1})[/mm] (i) =r ( [mm]\pi[/mm] (i)) = k
> [mm]\pi[/mm] ( i) = j
>
Dann ist [mm]\rho \pi \rho ^{-1}(i)=k\neq j=\pi(i)[/mm]
Würden [mm]\rho[/mm] und [mm]\pi[/mm] kommutieren, so wäre [mm]\rho\pi\rho^{-1}=\pi[/mm]. Das ist aber nicht der Fall. Da [mm] $\pi$ [/mm] beliebig war, ...
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