Zyklen, Transpositionen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei [mm] \pi \in S_{15} [/mm] gegeben als:
[mm] \pi [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 }
[/mm]
[mm] (\pi [/mm] hat nur zwei zeilen (hat nur nicht ganz hingepasst oben von 1-15 und unten von 1-14)
a) Schreibe [mm] \pi [/mm] als Produkt von Zyklen (kein gemeinsames Element)
b) Schreibe [mm] \pi [/mm] als produkt von Transpositionen und berechne [mm] sign(\pi).
[/mm]
c) Wie viele Permutationen gibt es in $_{4}, die sich als 3-Zykel darstellen lassen.
d) Wie viele Paare [mm] (\pi, \nu) \in S_{4} [/mm] x $_{4} gibt es, sodass sich [mm] \pi [/mm] als 3-Zykel, [mm] \nu [/mm] als 4-Zykel und [mm] \pi \circ \nu [/mm] als 4-Zykel darstellen lässt? |
a) Meine Idee:
(2 3 5 9)(4 7 13 10)(6 11)(8 15 14 12)
b) Meine Idee:
[mm] \pi [/mm] = (2 3)(3 5)(5 9)(4 7)(7 13)(13 10)(6 11)(8 15)(15 14)(14 12)
[mm] sign(\pi) [/mm] = 1, da die Anzahl der Felstände gerade ist (28)
c) Meine Idee:
3-Zykel aus [mm] S_{4}:
[/mm]
(123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)
d) Die 4-Zykel wären ja:
(1243),(1432),(1423),(1342),(1324),(1234)
Weiter komme ich hier nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Di 22.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
zur a) es fehlt der (1) zykel
leider hab ich für den rest gerade nicht so viel zeit mich reinzudenken. vielleicht findet sich noch wer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:32 Di 22.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Wir hatten aber gelernt, dass man zyklen der länge 1 weglassen kann...
kann mir bitte jemand beim Rest helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Di 22.11.2011 | | Autor: | rollroll |
weiß jemand was?
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> Sei [mm]\pi \in S_{15}[/mm] gegeben als:
> [mm]\pi = \left(\begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\
1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 }\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm](\pi[/mm] hat nur zwei zeilen (hat nur nicht ganz hingepasst
> oben von 1-15 und unten von 1-14)
> a) Schreibe [mm]\pi[/mm] als Produkt von Zyklen (kein gemeinsames
> Element)
> b) Schreibe [mm]\pi[/mm] als produkt von Transpositionen und
> berechne [mm]sign(\pi).[/mm]
> c) Wie viele Permutationen gibt es in [mm] $S_{4}$, [/mm] die sich als
> 3-Zykel darstellen lassen.
> d) Wie viele Paare [mm](\pi, \nu) \in S_{4}[/mm] x $_{4} gibt es,
> sodass sich [mm]\pi[/mm] als 3-Zykel, [mm]\nu[/mm] als 4-Zykel und [mm]\pi \circ \nu[/mm]
> als 4-Zykel darstellen lässt?
> a) Meine Idee:
> (2 3 5 9)![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (4 7 13 10)(6 11)8ok](8 15 14 12)
> b) Meine Idee:
> [mm]\pi[/mm] = (2 3)(3 5)(5 9)(4 7)(7 13)(13 10)(6 11)(8 15)(15
> 14)(14 12)
(sehe kein Gegenbeispiel)
> [mm]sign(\pi)[/mm] = 1, da die Anzahl der Felstände gerade ist
[mm] $sgn(\pi)=(-1)^{10}=1$
[/mm]
> (28)
> c) Meine Idee:
> 3-Zykel aus [mm]S_{4}:[/mm]
> (123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)
> d) Die 4-Zykel wären ja:
> (1243),(1432),(1423),(1342),(1324),(1234)
> Weiter komme ich hier nicht...
Ich würde das über das Vorzeichen betrachten
Die 3-Zykel [mm] $\pi$ [/mm] aus [mm] $S_4$ [/mm] haben welches Vorzeichen?
Die 4-Zykel [mm] $\nu$ [/mm] aus [mm] $S_4$ [/mm] haben welches Vorzeichen?
Welches Vorzeichen hat [mm] $\pi\circ \nu$ [/mm] unter welchen Umständen? Welches Vorzeichen muss es haben, um ein 4-Zykel zu sein.
2. Ansatz Wie viele Mölichkeiten gibt es [mm] $\pi$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] zu verknüpfen, sodass [mm] $\pi\circ\nu$ [/mm] keine Fixpunkte hat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
naja, die 3-Zykel haben doch ein positives und die 4-Zykel ein negatives Vorzeichen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 23.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hier stand Unsinn.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Also bei uns hieß es, wir sollen ein paar durch probieren finden und dann ein bildungsgesetz erkennen... das hieße ja, dass es doch welche gäbe...
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> Also bei uns hieß es, wir sollen ein paar durch probieren
> finden und dann ein bildungsgesetz erkennen... das hieße
> ja, dass es doch welche gäbe...
stimmt, es gibt welche.
Dann probiere doch einmal rum. Du wirst schnell welche finden!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Das problem ist, dass ich kein Bsp finden, bei dem es nicht geht.
(123)(1324)=(1432)
(243)(1432)=(3142)
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> Das problem ist, dass ich kein Bsp finden, bei dem es nicht
> geht.
> (123)(1324)=(1432)
> (243)(1432)=(3142)
Das ist doch beides falsch! Das erste ist (24) und das zweite ist (1342).
Es gilt für [mm]\pi_1=(123)(1324),\pi_2=(1432)[/mm]
[mm]\pi_1(2)=4[/mm] und [mm]\pi_2(2)=1[/mm]
Betrachte einen 3er Zykel
[mm]\pi=(p_1 p_2 p_3)[/mm]
2 Fälle für den Viererzykel:
1. Fall: "es wird noch [mm] p_4 [/mm] dazwischen geschoben":
[mm]\pi\in \{(p_4 p_1 p_2 p_3),(p_1 p_4 p_2 p_3),(p_1 p_2 p_4 p_3),(p_1 p_2 p_3 p_4)\}[/mm]
2. Fall: "die haben kaum etwas miteinander zu tun":
[mm]\pi\in\{p_1p_3p_2p_4\}[/mm]
Ich hab da mal ein paar Beispiele:
(1, 2, 3) (1, 2, 3, 4)= (1, 3, 4, 2)
(1, 2, 4) (1, 2, 3, 4)= (1, 4, 2, 3)
(1, 3, 2) (1, 2, 3, 4)= (3, 4)
(1, 3, 4) (1, 2, 3, 4)= (1, 2, 4, 3)
(1, 4, 2) (1, 2, 3, 4)= (2, 3)
(1, 4, 3) (1, 2, 3, 4)= (1, 2)
...
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ok, du hast recht. hatte einen blöden Denkfehler...
Bei den Beispielern sieht es so aus, als ginge es nur, wenn die 3-Zykel ,,aufsteigend'' sind.
Ich frage mich nur, was ist, wenn man die 4-Zykel variiert. Ich erkenne noch kein richtiges system.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Do 24.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich bin nicht deine persönliche Rechenmaschine!
(1,2,3),(1,2,3,4)=(1,3,2,4)
(1,2,3),(1,2,4,3)=(1,4,3,2)
(1,2,3),(1,3,2,4)=(1,4)
(1,2,3),(1,3,4,2)=(2,4)
(1,2,3),(1,4,2,3)=(1,3,4,2)
(1,2,3),(1,4,3,2)=(3,4)
(1,2,3),(2,1,3,4)=(2,4)
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Sorry, sollt nicht so rüberkommen...
Durch deine Beispiele würde ich ableiten, man erhält genau dann einen 4-Zykel, wenn gilt:
1. der 3Zykel hat ,,aufsteigende'' form (kann man das so sagen?)
2. man denkt sich den 4-Zykel als 3-Zykel , schiebt die 4 ein und behält die reihenfolge des 3-zykel bei.
(was ich bei 2. meine: (abc4), (ab4c),(a4bc))
Kann man das ungefähr so sagen?
Jetzt muss ich ,,nur noch'' überlegen, wie viele solcher Paare es gibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Do 24.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Sorry, sollt nicht so rüberkommen...
> Durch deine Beispiele würde ich ableiten, man erhält
> genau dann einen 4-Zykel, wenn gilt:
> 1. der 3Zykel hat ,,aufsteigende'' form (kann man das so
> sagen?)
würde ich damit entkräftigen:
(123)(4312)=(1432)
(124)(4321)=(23)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
aber (4312) und (4321) gehören doch nicht zu [mm] S_{4}...
[/mm]
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Also ich finde kein gegenbeispiel aus [mm] S_{4}, [/mm] das gegen die regel spricht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Do 24.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
> aber (4312) und (4321) gehören doch nicht zu [mm]S_{4}...[/mm]
...... Nicht? Schade wieder etwas gelernt .......
Ich dachte immer [mm] $S_4$ [/mm] ist die symmetrische Gruppe mit 24 Elementen. Jetzt hat sie nur noch 22 Elemente.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, du hast recht, ehrlich gesagt , bin ich aber beid er aufgabe immer noch kein stückchen weiter...
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Betrachte den 3er Zykel (abc). Hier wird "a auf b" abgebildet. Was passiert, wenn im 4er Zykel "b auf a" abgebildet wird?
Dann musst du nur noch durchzählen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
ich kann es mir leichter mit konkreten zahlen vorstellen:
(123) mit a=1 und b=2 --> 1 wird auf 2 abgebildet
(2134) a=2 und b=1 --> 2 wird auf 1 abgebildet
Meinst du dass so?
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> ich kann es mir leichter mit konkreten zahlen vorstellen:
> (123) mit a=1 und b=2 --> 1 wird auf 2 abgebildet
> (2134) a=2 und b=1 --> 2 wird auf 1 abgebildet
So hatte ich es mir vorgestellt.
Übers Vorzeichen erhält man, dass nur (ab) oder (cdef) in Frage kommen.
Um in (ab) zu landen brauchst du zwei Fixpunkte, d.h. zwei Zahlen aus 1,2,3,4 werden auf sich selber abgebildet.
edit: Du brauchst hier sogar nur einen Fixpunkt suchen, da ein Fixpunkt impliziert, dass noch ein weiterer vorhanden sein muss, da soetwas wie (a)(bcd) nicht geht wegen dem Vorzeichen
Um in (cdef) zu landen darf kein Fixpunkt vorliegen, d.h. jede der Zahlen 1,2,3,4 wird lustig permutiert und keine bleibt, wie sie ist.
Somit suchst du alle Paare aus 3er Zykel und 4er Zykel, die verknüpft keinen Fixpunkt haben.
Sei (abcd) ein 4er Zykel.
Damit hast du jetzt für den 3er Zykel folgende Möglichkeiten:
(abc),(acb),(abd),(adb),(acd),(adc),(bcd),(bdc)
- (abc) klappt prima, da bei (abc)(abcd) alle Zahlen verschoben werden
- (acb) wird aussortiert, da bei (abcd) b auf c abgebildet und bei (acb) wieder c auf b abgebildet wird, damit hast du einen Fixpunkt
- (abd) klappt wieder, da kein Fixpunkt bei (abd)(abcd) auftritt
- (adb) bildet b auf a ab und bei (abcd) wird a wieder auf b abgebildet.
- Was ist mit (acd),(adc),(bcd),(bdc)?
- Wie viele aus (abc),(acb),(abd),(adb),(acd),(adc),(bcd),(bdc) darfst du auf (abcd) anwenden? -> merken und als M bezeichnen
- Wie viele Möglichkeiten gibt es (abcd) zu bestücken (ganz allgemein) -> mit N bezeichnen
- M*N berechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
also:
adc klappt nicht
bdc klappt nicht
bcd klappt
acd klappt.
M= 4, oder?
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Ja (falls ich mich nicht verzählt habe)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
D.h. es gibt 96 Paare? (24*4)
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Darauf bin ich auch am Anfang rein gefallen 
Du rechnest ja anscheinen
4*4*3*2*1=96
Hier wird aber
(1234) und (2341) und (3412) jeweils gezählt obwohl
(abcd)=(bcda)=(cdab)=(dabc)
gilt.
Also noch durch 4 Teilen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:07 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Danke! Kannst du mir noch bei Gruppenhomomorphismen (nur teil a)) helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Do 24.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Danke! Kannst du mir noch bei Gruppenhomomorphismen (nur
> teil a)) helfen?
Der wurde doch schon oben besprochen:
https://matheraum.de/read?i=841167
und
https://matheraum.de/read?i=841711
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Wenn du die Diskussion meinst, wi mir kamaleonti geholfen hatte: das hatte ich nicht ganz verstnden und es war noch nicht ganz fertig...
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