Zyklische Erzeuger bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 22.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Ist folgende Gruppe zyklisch? Wenn ja, bestimme alle zyklischen Erzeuger.
a) [mm] (\IZ/11\IZ, [/mm] +) |
Hallo,
könntet ihr mir vielleicht an diesem Beispiel erklären, wie man hier vorgeht? Als Hausaufgabe muss ich dann ein anderes Beispiel machen. Nur damit ich mal sehe, wie es funktioniert. 
Vielen lieben Dank und viele Grüße
kiri
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:19 Mi 23.04.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha he,
ich fürchte, dass ich dich ein wenig desillusionieren muss: Soweit ich mich an meine Vorlesung erinnere, gibt es keine Möglichkeit die erzeugenden Mittel anders als durch schnödes Ausprobieren zu bestimmen. (Wenn doch, will ich nichts gesagt haben, dann würde ich mich ebenfalls für die elegantere Version interessieren!)
Wie gehst du also vor:
Du suchst eine Zahl [tex] a \in \{ 0,...,10 \} [/tex] für die gilt, dass [tex] a^{n} [/tex] alle Restklassen des Faktorrings [tex] \IZ / \IZ _{11} [/tex] erzeugt (in deinem Fall ist es sogar ein sog. Restklassenkörper).
Beispiel 5:
[tex]
5^{0} mod 11 = 1 mod 11
5^{1} mod 11 = 5 mod 11
5^{2} mod 11 = 3 mod 11
5^{3} mod 11 = 4 mod 11
5^{4} mod 11 = 9 mod 11
5^{5} mod 11 = 1 mod 11
[/tex]
5 kann es also nicht sein, da [tex]5^{5} [/tex] bereits beim 6. Schritt wieder die Restklasse der 1 liefert.
Beispiel 10:
[mm] 10^{0} [/mm] mod 11 = 1 mod 11
[mm] 10^{1} [/mm] mod 11 = 10 mod 11
[mm] 10^{2} [/mm] mod 11 = 1 mod 11
[/tex]
Hier schaut es noch ungünstiger aus, da die wiederholung bereits für [tex] n = 2 [/tex] eintritt.
Aber wie wäre es denn mit der 7?
[mm] 7^{0} [/mm] mod 11 = 1 mod 11
[mm] 7^{1} [/mm] mod 11 = 7 mod 11
[mm] 7^{2} [/mm] mod 11 = 5 mod 11
[mm] 7^{3} [/mm] mod 11 = 2 mod 11
[mm] 7^{4} [/mm] mod 11 = 3 mod 11
[mm] 7^{5} [/mm] mod 11 = 10 mod 11
[mm] 7^{6} [/mm] mod 11 = 4 mod 11
[mm] 7^{7} [/mm] mod 11 = 6 mod 11
[mm] 7^{8} [/mm] mod 11 = 9 mod 11
[mm] 7^{9} [/mm] mod 11 = 8 mod 11
[mm] 7^{10} [/mm] mod 11 = 1 mod 11
[/tex]
Das hätte fast geklappt, leider fehlt die Restklasse [tex] 0 mod 11 [/tex].
Sofern ich da keinen grundsätzlichen Fehler gemacht habe, ist das eben jenes Verfahren was es anzuwenden geht. Du betrachtest die Potenzen eines potentiellen Kandidaten und reduzierst die Zahlen modulo 11.
Namarie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dich das weiterbringt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Berry |
Bist du die sicher????
erklärst du nicht gerade [mm] (Z/Z11/)^x????
[/mm]
Er schreibt aber (Z/11Z,+)
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 20:19 Mi 23.04.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
soweit ich richtig gelesen habe, ging es doch um ![[]](/images/popup.gif) zyklische Gruppen.
Zyklische Gruppen, sind Gruppen, die von einem Element und dessen Potenzen erzeugt werden.
Ansich sollte das also so passen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterhüpft.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:10 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Berry |
Weisst du zufällig was der Unterschied zwischen (Z/11Z,+) und [mm] (Z/11Z)^x [/mm] und (Z/11Z,*) ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mi 23.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Lary,
> soweit ich richtig gelesen habe, ging es doch um
> zyklische Gruppen.
>
> Zyklische Gruppen, sind Gruppen, die von einem Element und
> dessen Potenzen erzeugt werden.
dort wird davon ausgegangen, dass die Gruppenoperation multiplikativ geschrieben wird; in dem Fall potenziert man. Schreibt man die Gruppenoperation dagegen additiv, so schreibt man $n [mm] \cdot [/mm] a$ anstelle [mm] $a^n$. [/mm] Die Gruppe [mm] $(\IZ/11\IZ, [/mm] +)$ ist additiv, womit die Ordnung von 5 so bestimmt werden muss:
$1 [mm] \cdot [/mm] 5 = 5 [mm] \neq [/mm] 1$,
$2 [mm] \cdot [/mm] 5 = 10 [mm] \neq [/mm] 1$,
$3 [mm] \cdot [/mm] 5 = 4 [mm] \neq [/mm] 1$,
$4 [mm] \cdot [/mm] 5 = 9 [mm] \neq [/mm] 1$,
$5 [mm] \cdot [/mm] 5 = 3 [mm] \neq [/mm] 1$,
$6 [mm] \cdot [/mm] 5 = 8 [mm] \neq [/mm] 1$,
...
$10 [mm] \cdot [/mm] 5 = 6 [mm] \neq [/mm] 1$,
$11 [mm] \cdot [/mm] 5 = 1$
womit die Ordnung 11 ist.
Das ganze kann man uebrigens auch ohne Ausprobieren machen, wenn man den Satz von Lagrange anwendet (die Gruppenordnung ist hier ja 11).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Fr 25.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay... So langsam begreife ich. Ich fasse das nochmals zusammen:
Die Ordnung der Gruppe G ist 11. Da 11 keine Primzahl ist, kann nach dem Satz von Lagrange die Gruppe nur die Eins und sich selbst aus Untergruppe haben. Das bedeutet wiederum die Gruppe ist zyklisch und die zyklischen Erzeuger sind die Restklassen modulo 11.
Ist das so korrekt?
Meine zweite Frage bezieht sich auf die Gruppe [mm] (\IZ*\bruch{1}{5}:={\bruch{k}{5}|k \in \IZ}, [/mm] +).
Wie gehe ich denn nun hier vor? Die Aufgabenstellung ist dieselbe: Man soll entscheiden, ob die Gruppe zyklisch ist und ggf. alle zyklischen Erzeuger angeben.
Viele liebe und sonnige Grüße
kiri
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Hallo kiri,
ist deine Gruppe irgendwie isomorph zu einer
im Wikipedia-Artikel vorgestellten zyklischen Gruppen?
In deinem Fall handelt es sich ja insbesondere um eine Gruppe mit unendlich vielen Elementen, da kannst du ja nicht 'einfach so' ausprobieren, ob ein zufällig herausgepicktes Element die ganze Gruppe erzeugt.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 26.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ja... das mit der Isomorphie dachte ich mir auch schon.... Aber leider kann ich da im Artikel nichts entdecken... Kann mir da jemand nochmal helfen? Das wäre sehr nett...
Ich danke euch.
Liebe grüße
kiri
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Kann es vielleicht sein, dass sich die Fünftel in deiner Aufgabe rechnerisch eigentlich genau so verhalten wie die ganzen Zahlen?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 26.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hi,
heißt das, dass die Gruppe ebenfalls zyklisch erzeugt ist mit dem zyklischen Erzeuger 1 bzw. -1?
Liebe Grüße
kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 So 27.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ach quatsch... Die zyklischen Erzeuger sind natürlich [mm] \bruch{1}{5} [/mm] und [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] oder?
Viele sonnige Grüße
kiri
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Hallo Kiri,
das ist richtig. Allerdings reicht es, wenn man entweder [mm] +\frac{1}{5} [/mm] oder [mm] -\frac{1}{5} [/mm] nimmt. Die Gruppe ist isomorph zu [mm] \IZ [/mm] und damit zyklisch.
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 27.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
super. Alles klar, dann habe ich das verstanden. Vielen lieben Dank.
Liebe Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 25.04.2008 | | Autor: | laryllan |
*Tomaten von den Augen nimmt*
Danke, Felix.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich gleich sein Alg/Zth-Skript nochmal aus dem Regal nehmen wird.
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gleicher Einwand wie oben
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Die Antwort beantwortet die Frage nicht, da es um die additive, nicht um die multiplikative Gruppe modulo 11 geht.
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