Zyklische Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 19.11.2006 | | Autor: | Disgrace |
| Aufgabe | | Die Kardinalität card(G) der Gruppe G sei eine Primzahl. Beweisen sie das G zyklisch ist und geben sie die Anzahl der Erzeuger von G an ! |
Nun zu meinen Fragen :
Ich habe zunächst einmal versucht die Aufgabenstellung zu entschlüsseln.
Kardinalität= Mächtigkeit einer Menge= card ( G) => 1 Primzahl
Zyklische Gruppe: Eine zyklische Gruppe soll aus einem Erzeugerelement und dessen Potenzen zu Stande kommen. Da es rein theoretisch unendlich Primzahlen gibt ..müsste es dementsprechend auch unendlich Erzeuger geben ..?!Nur wie beweist man ,dass G zyklisch ist ? Gibt es wirklich unendlich Erzeuger ?
Ich hoffe ,dass ihr mir helfen könnt ,denn die Entschlüsselung der Aufgabenstellung hat mich leider nicht wirklich weiter gebracht !
Mfg Disgrace
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 19.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Disgrace,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Kardinalität card(G) der Gruppe G sei eine Primzahl.
> Beweisen sie das G zyklisch ist und geben sie die Anzahl
> der Erzeuger von G an !
Kommst Du zufällig auch aus Essen? 
> Nun zu meinen Fragen :
> Ich habe zunächst einmal versucht die Aufgabenstellung zu
> entschlüsseln.
> Kardinalität= Mächtigkeit einer Menge= card ( G) => 1
> Primzahl
>
> Zyklische Gruppe: Eine zyklische Gruppe soll aus einem
> Erzeugerelement und dessen Potenzen zu Stande kommen. Da es
> rein theoretisch unendlich Primzahlen gibt ..müsste es
> dementsprechend auch unendlich Erzeuger geben ..?!Nur wie
> beweist man ,dass G zyklisch ist ? Gibt es wirklich
> unendlich Erzeuger ?
Wenn Du alle Erzeuger von allen Gruppen mit Primzahlkardinalität zusammen nimmst, schon.
Hier geht es aber eine einzige konkrete dieser Gruppen mit Primzahlkardinalität.
Über G wissen wir nur, dass sie aus p (verschiedenen) Elementen besteht, wobei p eine Primzahl ist. Ein Bespiel wäre
[mm] $\IF_5=\{\lbrack 0 \rbrack, \lbrack 1 \rbrack, \lbrack 2 \rbrack, \lbrack 3 \rbrack, \lbrack 4 \rbrack\}$
[/mm]
Sie hat Kardinalität 5: [mm] $\operatorname{card}(\IF_5)=5$ [/mm] (also eine Primzahl)
Du sollst nun zeigen, dass G zyklisch ist, dass es also ein erzeugendes Element g gibt mit [mm] $\operatorname{erz}(g)=G$ [/mm] oder anders geschrieben mit
[mm] $\{g^1,g^2,g^2,\ldots\}=G$
[/mm]
> Ich hoffe ,dass ihr mir helfen könnt ,denn die
> Entschlüsselung der Aufgabenstellung hat mich leider nicht
> wirklich weiter gebracht !
Frag' bitte nach, wenn es weiter unklar sein sollte.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 19.11.2006 | | Autor: | Disgrace |
Grüß Dich ;)
Ja , ich bin an der Universität Essen *grins* auch wenn ich dort noch nicht wohnhaft bin . ( Wir scheinen ja schon bekannt zu sein ^)Herzlichen Dank für ihre "Anteilnahme" an meinem Problem .
Zu ihrer Antwort:
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Wenn Du alle Erzeuger von allen Gruppen mit Primzahlkardinalität zusammen nimmst, schon.
Hier geht es aber eine einzige konkrete dieser Gruppen mit Primzahlkardinalität.
Über G wissen wir nur, dass sie aus p (verschiedenen) Elementen besteht, wobei p eine Primzahl ist. Ein Bespiel wäre
Sie hat Kardinalität 5: (also eine Primzahl)
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Bis hierhin ist mir alles klar ! Nur wie kann man nun zeigen ,dass G zyklisch ist? :
Meine Theorie:
Jedes Element der Gruppe G also zum Beispiel {0,1,2,3,4},die für die Primzahl 5 steht muss durch ein [mm] x^{y} [/mm] (wobei x konstant ist ?)dargestellt werden ?Wenn man das dann zum Beispiel für eine Primzahl (z.B. unsere 5 elementige Gruppe )gemacht hat ,dürfte dann rein theoretisch gezeigt worden sein ,dass die Gruppe zyklisch ist ?
Außerdem dürfte es dann ja auch nur für diese eine Gruppe einen Erzeuger geben ?
Herzlichen Dank auf jeden Fall schon mal für weitere Bemühungen !
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 So 19.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Disgrace
Nimm ein Element der Gruppe, das nicht das Neutralelement ist: g
Dann betrachte die Die Elemente [mm] $g,g^2,g^3,\dots,g^p$ [/mm] (wobei $p=|G|$).
Ueberlege dir, dass diese Elemente alle verschieden sind.
mfG Moudi
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