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| Aufgabe | | Aufgabe zu Volumenberechnung mit Hilfe von Integralen. |
Hallo,
ich hab Fragen zu der Transformation von Zylinderkoordinaten.
Vorgeben werden Mengen zum Beispiel :
1.)M = [mm] \{ x^2 + y^2 \le 1 , 0 \le z \le 1 + x \}
[/mm]
2.)M = [mm] \{ 0 \le z \le 1 , x^2 + y^2 \le 1 + z^2 \}
[/mm]
-Wie bekomme ich diese in Zylinderkoordinaten umgewandelt.
-Was hat es sich mit dieser Determinate auf sich? Ist das Ergebnis immer "r" ?
Meine Versuche:
x = r*cos(phi) , y = r*sin(phi) , z = z
Ersetze ich jetzt einfach das x ?
Zu 1.)
[mm] r^2 [/mm] = 1 , 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 + r*cos(phi)
Woran erkenne ich nun das meine Integrationsgrenzen von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] geht? Und r von 0 bis 1 , bzw. 0 bis 1 + rcos(phi)
Vielen Dank , für deine Mühe =)
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Hallo Timberbell,
> Aufgabe zu Volumenberechnung mit Hilfe von Integralen.
> Hallo,
>
> ich hab Fragen zu der Transformation von
> Zylinderkoordinaten.
> Vorgeben werden Mengen zum Beispiel :
>
> 1.)M = [mm]\{ x^2 + y^2 \le 1 , 0 \le z \le 1 + x \}[/mm]
> 2.)M = [mm]\{ 0 \le z \le 1 , x^2 + y^2 \le 1 + z^2 \}[/mm]
>
> -Wie bekomme ich diese in Zylinderkoordinaten umgewandelt.
> -Was hat es sich mit dieser Determinate auf sich? Ist das
> Ergebnis immer "r" ?
Das ist die Determinante der Jacobi-Matrix.
Diese kannst Du berechnen:
[mm]\vmat{\begin{matrix} \bruch{\partial x}{\partial r} & \bruch{\partial x}{\partial \phi} & \bruch{\partial x}{\partial u} \\ \bruch{\partial y}{\partial r} & \bruch{\partial y}{\partial \phi} & \bruch{\partial y}{\partial u} \\ \bruch{\partial z}{\partial r} & \bruch{\partial z}{\partial \phi} & \bruch{\partial z}{\partial u}\end{matrix}}[/mm]
wobei
[mm]x=x\left(r,\phi,u\right)[/mm]
[mm]y=y\left(r,\phi,u\right)[/mm]
[mm]z=z\left(r,\phi,u\right)[/mm]
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> Meine Versuche:
>
> x = r*cos(phi) , y = r*sin(phi) , z = z
>
> Ersetze ich jetzt einfach das x ?
>
> Zu 1.)
>
> [mm]r^2[/mm] = 1 , 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 1 + r*cos(phi)
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> Woran erkenne ich nun das meine Integrationsgrenzen von 0
> bis [mm]2\pi[/mm] geht? Und r von 0 bis 1 , bzw. 0 bis 1 +
> rcos(phi)
Unzweifelhaft ist die erste Gleichung von M in 1.) eine Kreisgleichung.
Damit liegen die Grenzen für [mm]r, \ \phi[/mm] fest.
Die Grenzen von z ergeben sich dann hier automatisch.
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> Vielen Dank , für deine Mühe =)
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Timberbell |
Danke Schön, ich habe ein paar Aufgaben erfolgreich berechnet !
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