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| Aufgabe | | Eine zylindrische Konservendose mit einem Grundkreis vom Radius r und der Höhe h soll ein Volumen V= 1 [mm] dm^3 [/mm] besitzen.Für welche Wahl von r und h wird die Oberfläche minimal? |
Also die Aufgabe verstehe ich leider nicht. Ich habe mal die Volumen Formel rausgesucht und etwas eingestzt:
[mm] 1=r^2*h* \pi
[/mm]
1/ [mm] \pi [/mm] = [mm] r^2*h
[/mm]
Aber irgendwie ergibt das jetzt auch nicht so recht sinn. weil nach was sollte ich denn dann überhaupt umstellen? und ob das dann der minimalste Wert ist weiß ich jetzt auch nicht so sicher... Ich hoffe euch fällt mehr dazu ein (:
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Hallo, du hast die Nebenbedingung:
[mm] 1dm^{3}=\pi*r^{2}*h [/mm] welche du z.B. nach h umstellen kannst h= ...
dir fehlt doch aber die Hauptbedingung, die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders,
Steffi
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| Aufgabe | | Eine zylindrische Konservendose mit einem Grundkreis vom Radius r und der Höhe h soll ein Volumen V= 1 [mm] dm^3 [/mm] besitzen.Für welche Wahl von r und h wird die Oberfläche minimal? |
ja das ist mir auch grad aufgefallen.die ist: [mm] F=r^2* \pi [/mm] +2r* [mm] \pi [/mm] *h
Jetzt muss man diese Formeln sicher umstellen und ineinander integrieren.
Also [mm] 1=r^2*h* \pi /:\pi
[/mm]
1/ [mm] \pi [/mm] = [mm] r^2*h /:r^2
[/mm]
0,3183/ [mm] r^2 [/mm] = h
So dann dieselbe Formel nochmal:
1= [mm] r^2*(0,3183/r^2)*\pi /:\pi
[/mm]
dann hätte man: [mm] 0,3183=r^2*(0,3183/r^2)
[/mm]
Irgendwie komm ich hier nicht mehr weiter. Jetzt müsste ich ja weiter umstellen und käme dann auf O.Was ja nicht sein kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 03.01.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es handelt sich um eine Extremwertaufgae, die eigentlich nicht ins Hochschulforum gehört, denn das ist Schulstoff der Klasse 11. Da war doch früher mal was, oder?
Du hast eine Flächenformel, die von r UND h abhängt.
Aus der Nebenbedingung (V=1) hast du durch Umstellen eine Möglichkeit gefunden, h durch r auszudrücken.
Somit hängt deine Oberflächenformel nicht mehr von h UND r ab, sondern nur noch von r.
Berechne dann von der Funktion "Oberflächeninhalt in Abhängigkeit von r" mit Hilfe der ersten Ableitung dieser Funktion das lokale Minimum.
Gruß Abakus
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ja gut möglich das da in der 11. mal was war.ich hab da immer meine fünfen geschrieben und es ist halt schon lange her.
danke aber für die viele hilfe hier.
was ich jetzt nochmal fragen wollte, h hab ich ja jetzt und setz das dann eben auch ein.Dann soll man also die 1. Ableitung bilden.Ich hab das jetzt so verstanden das ich h in die Oberflächenformel einsetze und damit dann die 1. Ablei´tung bilde. Richtig?
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Hallo, du hast die Hauptbedingung
[mm] A_o(r,h)=2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*h
[/mm]
deine Fläche [mm] A_o [/mm] ist also von r und h abhängig, jetzt kennst du noch die Nebenbedingung
[mm] 1=\pi*r^{2}*h [/mm] umgestellt nach h
[mm] h=\bruch{1}{\pi*r^{2}}
[/mm]
diesen Term [mm] \bruch{1}{\pi*r^{2}} [/mm] kannst du jetzt für h in die Hauptbedingung einsetzen
[mm] A_o(r)=2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*\bruch{1}{\pi*r^{2}}
[/mm]
jetzt hast du erreicht, [mm] A_o [/mm] ist nur noch von r abhängig, du kannst im 2. Summanden r und [mm] \pi [/mm] kürzen, dann geht die Extremwertbetrachtung los, viel Erfolg
Steffi
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| Aufgabe | | siehe anfang der aufgabe |
erstmal vielen dank für deine hilfe.nur nochmal zur abischerung frage ich jetzt nach,weil ich das gar nicht wusste,dass sowas geht.vielleicht hab ichs ja auch falsch verstanden.
also du hast geschrieben,dass ich [mm] \pi [/mm] und r kürzen kann. ich hab das jetzt so verstanden,dass ich [mm] \pi [/mm] und [mm] r^2 [/mm] unter dem Bruchstrich, mit den anderen aus der Funktion kürzen kann. Sodas ich dann habe: [mm] 2*\pi+2*r*1
[/mm]
Meintest du das das so? Weil ich echt nicht dachte das sowas geht,weil der Bruchstrich ja nur nur unter der 1 ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 03.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies bitte genauer! Da stand "im zweiten Summanden kannst du kuerzen". Was du geschrieben hast ist falsch!
Gruss leduart
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| Aufgabe | | siehe anfang der aufgabe |
ja das mit dem summand habe ich gelesen. ich weiß nur nicht was das ist und dachte das müsste dann so sein,weil das als einziges sinn ergibt.
ich habe es jetzt mal mit znout versucht rauszufinden (wie google nur klimafreundlich) und dazu das gefunden: Summand = Zahl die man zu einer anderen dazuzählt!
Ist damit dann also der gesamte Teil hinter dem + Zeichen gemeint? Also in dieser Aufgabe wäre es dann so: 2* [mm] \pi*r^2+2*1/r
[/mm]
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Hallo, so ist es
[mm] A_o=2*\pi*r^{2}+\bruch{2}{r}
[/mm]
so und jetzt ran an die Ableitung
Steffi
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ok die ableitung ist: 4 [mm] \pi r-2/r^2
[/mm]
Das muss ich ja nun = 0 setzen.
[mm] 12,5664*r-2/r^2=0
[/mm]
ab hier ist es ja nun so,dass ich keinen wert habe,den ich durch subtrahieren oder addieren,auf die andere seite bringen kann.was bedeutet das dort 0 stehen bleiben wird.also r wäre 0.ein ergebnis das keinen sinn ergibt.oder kann man die gleichung doch anders umstellen.falls nicht,stelle ich danach gerne meinen ableitungsweg ein,denn dann muss da ja der fehler liegen...
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> siehe anfang der frage
> ok die ableitung ist: 4 [mm]\pi r-2/r^2[/mm]
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> Das muss ich ja nun = 0 setzen.
> [mm]12,5664*r-2/r^2=0[/mm]
[mm] \gdw 4\pi r=\frac{2}{r^2}
[/mm]
was würde man nun also tun, um r auf eine seite zu bringen? (nenner beseitigen)
>
> ab hier ist es ja nun so,dass ich keinen wert habe,den ich
> durch subtrahieren oder addieren,auf die andere seite
> bringen kann.was bedeutet das dort 0 stehen bleiben
> wird.also r wäre 0.ein ergebnis das keinen sinn
> ergibt.oder kann man die gleichung doch anders
> umstellen.falls nicht,stelle ich danach gerne meinen
> ableitungsweg ein,denn dann muss da ja der fehler liegen...
gruß tee
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ah ok.klar so geht das auch...
4 [mm] \pi [/mm] r= [mm] 2/r^2 [/mm] /*2
8 [mm] \pi [/mm] r= [mm] r^2 [/mm] /:r
8 [mm] \pi =r^2/r
[/mm]
8 [mm] \pi [/mm] =r
25,1327=r
ich frag lieber nochmal nach ob das so richtig ist.imoment bin ja nicht grad in höchstform wie es scheint(-: der nächste schitt wäre ja dann zur überprüfung die 2. ableitung machen.
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> siehe anfang der frage
> ah ok.klar so geht das auch...
> 4 [mm]\pi[/mm] r= [mm]2/r^2[/mm] /*2
> 8 [mm]\pi[/mm] r= [mm]r^2[/mm] /:r
> 8 [mm]\pi =r^2/r[/mm]
> 8 [mm]\pi[/mm] =r
> 25,1327=r
auweia!
[mm] 4\pi r=\frac{2}{r^2} [/mm] nun mit [mm] r^2 [/mm] multiplizieren:
[mm] 4\pi r^3=2 [/mm] nun durch [mm] 4\pi [/mm] teilen:
[mm] r^3=\frac{2}{4\pi}=\frac{1}{2\pi} [/mm] und nun die dritte wurzel ziehen:
[mm] r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}
[/mm]
>
> ich frag lieber nochmal nach ob das so richtig ist.imoment
> bin ja nicht grad in höchstform wie es scheint(-: der
> nächste schitt wäre ja dann zur überprüfung die 2.
> ableitung machen.
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 03.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
> und ob das dann der minimalste Wert ist weiß ich jetzt
*schüttel* Dieses Wort mit m gibt es nicht. Es heißt: "minimal" und kann nicht gesteigert werden.
Gruß
Loddar
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