Zylinder, liegend < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Fr 17.09.2004 | | Autor: | urbi |
* Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Kann ich den z.B. flüssigen Inhalt eines liegenden nicht vollgefüllten Zylinders mit Hilfe der Füllhöhe berechnen?
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Es seien
r = Grundkreisradius
l = Zylinderhöhe
h = Wasserstandshöhe
Um die Füllmenge [mm]V(h)[/mm] bis zur Höhe h zu berechnen, muß man den Inhalt [mm]F(h)[/mm] des vom Wasser benetzten Teils des Grundkreises mit der Zylinderhöhe multiplizieren:
V(h) = F(h)·l
Die zu berechnende Fläche ist ein Kreissegment. Es setzt sich zusammen aus einem Kreissektor, von dem eine Dreiecksfläche abzuziehen ist. Bis auf Rechenfehler gilt
[mm]F(h)=r^2 \cdot \arccos\left( 1-\frac{h}{r} \right) - (r-h) \cdot \sqrt{2rh-h^2}[/mm]
Und wenn man das Verhältnis [mm]\tau=\tau(h)=\frac{r-h}{r}[/mm] einführt, schreibt sich das Ganze noch etwas eleganter als
[mm]F(h)=r^2 \left( \arccos{\tau}-\tau \sqrt{1-\tau^2} \right)[/mm]
Die Arcuscosinuswerte sind im Bogenmaß (Taschenrechner: mit DRG-Taste RAD einstellen) zu berechnen.
Vielleicht kann das ja einmal jemand nachrechnen, ob das stimmt.
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