Zylinderförmiger Becher < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Fr 13.06.2008 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | Ein zylinderförmiger Blechbecher soll ein Volumen von einem Liter (1000 [mm] cm^{3} [/mm] haben. Wie groß muss man den Radius und die Höhe wählen ,damit der Blechverbrauch minimal ist? |
Hallo,
wieder mal ein neues Problem.
Jetzt schau ich mir als erstes die Aufgabenstellung an um zu sehen welche Zahlenwerte schon vorgegeben sind.
Ich hab den liter schon mal als 1000 [mm] cm^{3} [/mm] geschrieben ,denke damit lässt sich besser rechnen.
Die Formel für das Zylindervolumen ist :
V = [mm] \pi [/mm] *r{2}*h
für das V ,kann ich jetzt schon mal
1000 einsetzen
1000 = [mm] \pi [/mm] *r{2}*h
so das is der erste Teil
wenn ich die Dose aufschneide bzw. mir das Rohmaterial anschaue
habe ich 2 Kreise und ein Rechteck.
Ich würde jetzt die Formel so umstellen ,dass ich für die 3 Flächen immer die jeweilige Varibale einsetzen kann um an andere Werte zu kommen ?
Ich glaub dann hab ich das Problem ,dass ich trotdem nicht weiter komme ,da zu viele Variablen vorhanden sind.
hmm...
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Hallo!
Bisher ist doch alles richtig.
Du brauchst jetzt einen Ausdrucl für die Gesamtoberfläche. wie du richtig erkannt hast, bekommst du zwei Kreise, in die nur r einfließt, und dann eine Mantelfläche, in die r und h einfließt.
Jetzt kannst du V nach r oder h umformen, und in die Fläche einsetzen, dann hast du nur noch eine Variable. Generell ist es egal, ob du nach r oder h auflöst und einsetzt, allerdings kannst du dir vorab überlegen, welcher Weg letztendlich den einfacher abzuleitenden Ausdruck für A ergibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Sa 14.06.2008 | | Autor: | zeusiii |
Hallo,
das Problem was sich ich jetzt habe ist , wenn ich versuche die Formeln nach h oder r umzustellen , bekomme ich keine konkreten Ergebnisse , vielleicht rechne ich ja auch falsch .
$ 1000 = [mm] \pi r^{2}*h [/mm] $ // [mm] :\pi r^{2}
[/mm]
$ [mm] \bruch{1000}{\pi r^{2}} [/mm] = h $
und bei /h
$ [mm] \bruch{1000}{h} [/mm] = [mm] \pi r^{2} [/mm] $
wie bekomm ich denn r alleine ohne einen riesen Formelsalat
mit wurzel aus 1000 / h / pi = r
[mm] $\wurzel{\bruch{1000}{h} /\pi} [/mm] = r $
zu bekommen?
Ich bräuchte einen zweiten Wert und den am besten von der 1000.
nur wie ?
freu mich über eine Antwort
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Hallo zeusii,
> siehe oben
> Hallo,
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> das Problem was sich ich jetzt habe ist , wenn ich versuche
> die Formeln nach h oder r umzustellen , bekomme ich keine
> konkreten Ergebnisse , vielleicht rechne ich ja auch falsch
Das was Du da umgestellt hast, setzt Du in die Zielfunktion ein.
Da der Radius r gesucht ist, mußt Du h als Funktion von r darstellen.
> .
>
>
>
> [mm]1000 = \pi r^{2}*h[/mm] // [mm]:\pi r^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1000}{\pi r^{2}} = h[/mm]
>
> und bei /h
>
> [mm]\bruch{1000}{h} = \pi r^{2}[/mm]
>
>
> wie bekomm ich denn r alleine ohne einen riesen Formelsalat
> mit wurzel aus 1000 / h / pi = r
> [mm]\wurzel{\bruch{1000}{h} /\pi} = r[/mm]
> zu bekommen?
Setze also [mm]h=\bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm] in die Zielfunktion ein.
Untersuche dann diese Zielfunktion auf Extremwerte.
>
> Ich bräuchte einen zweiten Wert und den am besten von der
> 1000.
>
> nur wie ?
>
> freu mich über eine Antwort
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 14.06.2008 | | Autor: | zeusiii |
Hallo
danke für die Antwort , woher weiss ich wie die Zielfunktion aussieht?(generell)
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Hallo zeusii,
> siehe oben
> Hallo
>
>
> danke für die Antwort , woher weiss ich wie die
> Zielfunktion aussieht?(generell)
Die Zielfunktion gibt hier das verbrauchte Material an Blech an.
Dies setzt sich also zusammen aus der/den Kreisflächen und der Mantelfläche des Zylinders.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Sa 14.06.2008 | | Autor: | zeusiii |
Hallo,
ich habe dann :
$ 2 * [mm] (\pi*r^{2}) [/mm] + [mm] 2*\pi [/mm] *r*h $
$=$
$ [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] 2*r^{2} [/mm] + [mm] 2*\pi [/mm] *r*h // [mm] 2*\pi [/mm] // / 2 $
$=$
$ [mm] r^{2} [/mm] + [mm] \bruch{r+h}{2} [/mm] $
ich hoffe ich bin auf dem richtigen Weg .
jetzt habe ich aber wieder 2 variable??
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Hallo zeusii,
> siehe oben
> Hallo,
>
>
> ich habe dann :
>
>
> [mm]2 * (\pi*r^{2}) + 2*\pi *r*h[/mm]
Ersetze hier h durch [mm]\bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm]
Dann bist Du auf dem richtigen Weg.
>
> [mm]=[/mm]
>
> [mm]2*\pi * 2*r^{2} + 2*\pi *r*h // 2*\pi // / 2 [/mm]
>
> [mm]=[/mm]
>
> [mm]r^{2} + \bruch{r+h}{2}[/mm]
>
>
>
> ich hoffe ich bin auf dem richtigen Weg .
>
>
> jetzt habe ich aber wieder 2 variable??
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Sa 14.06.2008 | | Autor: | chrisno |
Ich würde bei einem Becher aber immer davon ausgehen, dass er im Unterschied zu einem Zylinder, oben offen ist und daher die Kreisfläche nur einmal ansetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Sa 14.06.2008 | | Autor: | zeusiii |
Hallo ,
hab ich beim probieren ebend auch gesehen , dass h 
also ich komm dann auf ein Ergebnis bei der ersten Ableitung von :
r = 3.wurzel [mm] \wurzel{\bruch{500}{\pi}}
[/mm]
um der kürze halber , hab ich noch die 2. ableitung gebildet und die sagt mir , dass es sich um einen TP handelt .
Ist das schon das gesuchte Ergebnis?
freu mich über ne kurze Antwort .
fals ihr meinen Gedankengang nicht folgen könnt , kann ich ja gleich noch meinen Rechenweg aufschreiben .
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Hallo zeusii,
> siehe oben
> Hallo ,
>
> hab ich beim probieren ebend auch gesehen , dass h
>
>
> also ich komm dann auf ein Ergebnis bei der ersten
> Ableitung von :
>
>
> r = 3.wurzel [mm]\wurzel{\bruch{500}{\pi}}[/mm]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> um der kürze halber , hab ich noch die 2. ableitung
> gebildet und die sagt mir , dass es sich um einen TP
> handelt .
>
> Ist das schon das gesuchte Ergebnis?
Ja.
Der Vollständigkeit halber ist der Materialverbrauch noch anzugeben.
>
> freu mich über ne kurze Antwort .
>
> fals ihr meinen Gedankengang nicht folgen könnt , kann ich
> ja gleich noch meinen Rechenweg aufschreiben .
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo,
setze dein r zu erst in die Funktion,die du nach h aufgelöst hast ein,h=...
Dann hast du auch dein h raus und dann setzt du diese beiden Werte,also r und h in die Formel für den Materialverbrauch ein,dann hast du deinen minimalen Materialverbrauch.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 15.06.2008 | | Autor: | zeusiii |
Hallo ,
so hab eich getan :
einsetzen von r in die Formel
$h = [mm] \bruch{1000}{\pi*r^{2}}$
[/mm]
$h = [mm] \bruch{1000}{\pi*(\wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}})^{2}}$
[/mm]
dann ausgerechnet =
$h =10,83 $
$h und r dann einsetzen in die Ur.Fkt. $
h = [mm] \bruch{1000}{\pi*r^{2}}
[/mm]
$r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}}$
[/mm]
O(h,r)= [mm] 2*\pi*(\wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}})^{2}+2*\pi*\wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}}*10,83
[/mm]
[mm] O(h,r)\approx553,290889
[/mm]
Um dann die Aufgabenstellung zu beantworten :
Wie groß muss r und h gewählt werden damit der Blechverbrauch minimal ist ?
r = 17,83
h = 6,83
Das seltsame ist jetzt aber , wenn ich das minimum in die Fkt. einsetze ohne das h zu kennen
also die Fkt. die ich zuerst abeitete ,dann erhalte ich als Y-Wert = 553,58
das ist doch sehr ähnlich wie mein jetziger Wert und ich denke es ist doch der selbe Rechenweg oder seh ich das falsch ?
freu mich über eine Antwort
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Hallo zeusii,
> siehe oben
> Hallo ,
>
>
> so hab eich getan :
>
>
> einsetzen von r in die Formel
>
> [mm]h = \bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm]
>
>
> [mm]h = \bruch{1000}{\pi*(\wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}})^{2}}[/mm]
>
>
> dann ausgerechnet =
>
>
> [mm]h =10,83[/mm]
>
>
> [mm]h und r dann einsetzen in die Ur.Fkt.[/mm]
>
>
> h = [mm]\bruch{1000}{\pi*r^{2}}[/mm]
>
> [mm]r = \wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}}[/mm]
>
>
> O(h,r)=
> [mm]2*\pi*(\wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}})^{2}+2*\pi*\wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}}*10,83[/mm]
>
> [mm]O(h,r)\approx553,290889[/mm]
>
>
>
>
> Um dann die Aufgabenstellung zu beantworten :
>
> Wie groß muss r und h gewählt werden damit der
> Blechverbrauch minimal ist ?
>
> r = 17,83
>
> h = 6,83
>
Hier hast Du Dich vertan.
Richtig sind die Angaben, die Du zuerst gemacht hast.
>
>
>
> Das seltsame ist jetzt aber , wenn ich das minimum in die
> Fkt. einsetze ohne das h zu kennen
> also die Fkt. die ich zuerst abeitete ,dann erhalte ich als
> Y-Wert = 553,58
>
> das ist doch sehr ähnlich wie mein jetziger Wert und ich
> denke es ist doch der selbe Rechenweg oder seh ich das
> falsch ?
Bei Deiner Berechnung hast Du mit [mm]h \approx 10,83[/mm] gerechnet.
Das ist natürlich ein gerundeter Wert.
Daher kommt auch die Differenz dieser 2 Werte.
[mm]h=\bruch{20}{\wurzel[3]{2\pi}} = 10,83 \dots \approx 10,83[/mm]
> freu mich über eine Antwort
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich würde nur
[mm] A(h,r)=\pi*r^{2}+2*\pi*r*h [/mm]
benutzen, die Rede ist von einem Becher, der ja oben offen ist,
Steffi
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