a Einheit in Z/pZ<=>ggT(a,p)=1 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:20 So 18.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Wie kann ich beweisen, dass gilt: [mm] a\in\IZ -p\IZ \gdw a\in(\IZ/p\IZ)* [/mm] (Einheitengruppe) ?
Ich kenne bereits einen Beweis, der über die Definition des ggT erfolgt, möchte aber, falls möglich, einen Beweis ohne ggT. Hat jemand eine Idee?
Wäre super ; ),
vG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 So 18.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> Wie kann ich beweisen, dass gilt: [mm]a\in\IZ -p\IZ \gdw a\in(\IZ/p\IZ)*[/mm]
> (Einheitengruppe) ?
Hier ist $p$ sicher eine Primzahl, oder?
> Ich kenne bereits einen Beweis, der über die Definition
> des ggT erfolgt, möchte aber, falls möglich, einen Beweis
> ohne ggT. Hat jemand eine Idee?
> Wäre super ; ),
Also, eine Moeglichkeit ist wie folgt:
Ueberlege dir zuerst, dass fuer einen endlichen Ring $R$ ein Element $a [mm] \in [/mm] R$ genau dann eine Einheit ist, wenn es kein Nullteiler ist. (Die eine Richtung gilt eh immer, und die andere folgt daraus, dass die Multiplikation mit $a$ genau dann eine injektive Abbildung $R [mm] \to [/mm] R$ ist, wenn sie bijektiv ist, da $R$ endlich ist.)
Dann kannst du wie folgt argumentieren:
* Ist $a [mm] \in (\IZ/p\IZ)^\ast$, [/mm] so gibt es ein $b$ mit $a b [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p}$, [/mm] also insb. $p [mm] \nmid [/mm] a b$. Damit kann aber $p$ auch kein Teiler von $a$ sein (da $p$ prim ist).
* Ist $a [mm] \not\in (\IZ/p\IZ)^\ast$, [/mm] so ist $a$ ein Nullteiler, es gibt also ein $b [mm] \in \IZ [/mm] - [mm] p\IZ$ [/mm] mit $a b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$, [/mm] also $p [mm] \mid [/mm] a b$. Jetzt ist aber $p$ prim... (den Rest darfst du dir selber ueberlegen... :) )
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 So 18.11.2007 | | Autor: | Fry |
Super, vielen Dank für deine schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen.
Habe aber noch eine Frage zum ersten Fall:
Du sagst, dass gilt: [mm] p\nmid [/mm] ab [mm] \Rightarrow p\nmid [/mm] a, da p prim ist,
aber für Primelemente gilt doch nur p|ab [mm] \Rightarrow [/mm] p|a oder p|b und die Verneinung leistet auch nicht das Gewünschte. Wieso folgt aus Primeigenschaft, dass p nicht a teilt ?
Nochmal vielen Dank : )
VG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 18.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> Habe aber noch eine Frage zum ersten Fall:
> Du sagst, dass gilt: [mm]p\nmid[/mm] ab [mm]\Rightarrow p\nmid[/mm] a, da p
> prim ist,
> aber für Primelemente gilt doch nur p|ab [mm]\Rightarrow[/mm] p|a
> oder p|b und die Verneinung leistet auch nicht das
> Gewünschte. Wieso folgt aus Primeigenschaft, dass p nicht a
> teilt ?
Das folgt gar nicht aus der Primeigenschaft, frag mich nicht warum ich das geschrieben hab, war wohl zu spaet  Das gilt ganz allgemein: wenn naemlich $p$ ein Teiler von $a$ waere, so auch von $a b$.
LG Felix
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