ab Klasse 11: Aufgabe 4 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 01:29 Mo 16.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Zeige, dass die folgende Äquivalenz gilt:
[mm]6|(a+b+c) \ \Leftrightarrow \ 6|(a^3 +b^3 + c^3)[/mm].
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
[mm]0^3=0\equiv 0 \pmod{6}[/mm]
[mm]1^3=1\equiv 1 \pmod{6}[/mm]
[mm]2^3=8\equiv 2 \pmod{6}[/mm]
[mm]3^3=27\equiv 3 \pmod{6}[/mm]
[mm]4^3=64\equiv 4 \pmod{6}[/mm]
[mm]5^3=125\equiv 5 \pmod{6}[/mm]
Daraus folgt [mm]n^3\equiv n\pmod {6}[/mm] und daraus die Behauptung.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Werd ich machen, diese Technik habe ich auch vorher noch nie gesehen und find sie sehr interessant und nützlich.
Danke
Gruß,
ein motivierter Hanno
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Hallo.
Ich hoffe es ist nicht unerwünscht, dass ich hier noch eine Antwort zu einer alten Übungsaufgabe poste.
Mir ist nämlich folgende alternative Lösung eingefallen:
[mm]a+b+c = 6n[/mm]
[mm]a = 6n- (b+c) [/mm]
[mm]a^3 + b^3 + c^3= (6n)^3 - 3(6n)^2(b+c) + 3*6n(b+c)^2 - (b+c)^3 + b^3 + c^3[/mm]
[mm]a^3 + b^3 + c^3= (6n)^3 - 3(6n)^2(b+c) + 3*6n(b+c)^2 - (3b^2c + 3bc^2)[/mm]
Der Term [mm](6n)^3 - 3(6n)^2(b+c) + 3*6n(b+c)^2[/mm] ist durch 6 teilbar. Es bleibt zu beweisen:
[mm]3b^2c + 3bc^2 = 6k[/mm]
Ist entweder b oder c gerade, so ist [mm]3b^2c + 3bc^2[/mm] ein Vielfaches von 6. Nimmt man an, dass beide ungerade sind, dann gilt:
[mm]b = 2l +1[/mm]
[mm]c = 2m + 1[/mm]
[mm]3b^2c + 3bc^2 = 6*2l^2*c + 6*2l*c + 6l*c^2 + (3c + 3c^2)[/mm]
Nun bleibt nur noch zu zeigen, dass [mm]3c + 3c^2[/mm] ein Vielfaches von 6 ist:
[mm]3c + 3c^2 = 6m + 3 + 6*2m^2 + 6*2m + 3 = 6m + 6*2m^2 + 6*2m + 6[/mm]
Damit wäre die Aufgabe gelöst (wenn nicht irgendwo ein Fehler drinsteckt).
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Do 26.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
ist hier nicht erst die eine Richtung gezeigt:
[mm]6|(a+b+c) \ \Rightarrow \ 6|(a^3 +b^3 + c^3)[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Fr 20.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Gehe genauso wie in Aufgabe 1 vor:
[mm](a^3 + b^3 + c^3) - (a+b+c) = \ldots[/mm]
So, jetzt aber!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mi 03.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Es gilt:
[mm](a^3 + b^3 + c^3) - (a+b+c)[/mm]
[mm]= (a^3-a) + (b^3-b) + (c^3-c)[/mm]
[mm]= a \cdot (a-1)\cdot (a+1) + b \cdot (b-1)\cdot (b+1) + c \cdot (c-1)\cdot (c+1) [/mm]
Wie in Aufgabe 3 sieht man jetzt ein, dass
[mm]2 \, \vert \, \left[a \cdot (a-1)\cdot (a+1) + b \cdot (b-1)\cdot (b+1) + c \cdot (c-1)\cdot (c+1)\right][/mm]
und
[mm]3 \, \vert \, \left[a \cdot (a-1)\cdot (a+1) + b \cdot (b-1)\cdot (b+1) + c \cdot (c-1)\cdot (c+1)\right][/mm]
gilt, also:
[mm]6 \, \vert \, \left[a \cdot (a-1)\cdot (a+1) + b \cdot (b-1)\cdot (b+1) + c \cdot (c-1)\cdot (c+1)\right][/mm]
In der Gleichung
[mm](a^3 + b^3 + c^3) - (a+b+c) = a \cdot (a-1)\cdot (a+1) + b \cdot (b-1)\cdot (b+1) + c \cdot (c-1)\cdot (c+1) [/mm]
gilt also immer:
[mm]6 \, \vert \, \left[a \cdot (a-1)\cdot (a+1) + b \cdot (b-1)\cdot (b+1) + c \cdot (c-1)\cdot (c+1)\right][/mm].
Wenn nun zusätzlich
[mm]6 \, \vert \, (a+b+c)[/mm]
vorausgesetzt wird, dann folgt auch:
[mm]6 \, \vert \, (a^3+b^3+c^3)[/mm],
und zwar aus dem folgenden Satz:
Wenn zwei der Terme der Gleichung [mm]\blue{a+b=c}[/mm] mit [mm]\blue{a,b,c \in \IZ}[/mm] durch [mm]\blue{d \in \IZ}[/mm] teilbar sind, dann auch der dritte.
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, sehr gut!!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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