abbildung f:{1...n}->{1...n} < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Fr 23.10.2009 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und sei [mm] f:\{1,..,n\}\to\{1,...n\}. [/mm] Zeigen Sie möglichst formal, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind!
a) f ist injektiv
b) f ist surjektiv
c) f ist bijektiv |
erste frage: muss in der fragestellung ein [mm] \to [/mm] oder ein [mm] \mapsto [/mm] zwischen den zwei mengen?
haette eigentlich gedacht ein [mm] \mapsto [/mm] , aber auf dem aufgabenblatt steht ein [mm] \to
[/mm]
a) [mm] M_1\in\{1,...n\}\gdw M_2\in\{1,..n\}: f(n)=f(n+1)\rightarrow [/mm] n=n+1 [mm] \gdw n\not=n+1 \rightarrow f(n)\not=f(n+1)
[/mm]
b) [mm] \exists n\in M_2:f(n)=n \rightarrow [/mm] n=n
c) [mm] \exists n\in M_2 \exists!n\in M_1: [/mm] f(n)=n
hab jetzt eigentlich nur die definitionen anhand der abbildung gezeigt, aber jetzt soll ich ja zeigen, dass alle drei aussagen aequivalent zueinander sind und könnte nur alle drei aussagen gleichsetzen, was für mich aber keinen sinn ergeben wuerde, da die definitionen ja durch die quantoren unterschiedlich sind ..
kann mir jemand n tipp geben?
danke, gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]n\in\IN[/mm] und sei [mm]f:\{1,..,n\}\to\{1,...n\}.[/mm] Zeigen Sie
> möglichst formal, dass die folgenden Aussagen äquivalent
> sind!
> a) f ist injektiv
> b) f ist surjektiv
> c) f ist bijektiv
> erste frage: muss in der fragestellung ein [mm]\to[/mm] oder ein
> [mm]\mapsto[/mm] zwischen den zwei mengen?
> haette eigentlich gedacht ein [mm]\mapsto[/mm] , aber auf dem
> aufgabenblatt steht ein [mm]\to[/mm]
Hallo,
wenn angegeben wird, aus welcher Menge in welche Menge abgebildet wird, steht dort ein [mm] \to.
[/mm]
Dies ist hier der Fall: Definitions- und Wertebreich sind beide [mm] =\{1,2,3,...,n\}, [/mm] es wird also aus der Menge [mm] \{1,2,3,...,n\} [/mm] in die Menge [mm] \{1,2,3,...,n\} [/mm] abgebildet, also [mm] \to.
[/mm]
Den Pfeil [mm] \mapsto [/mm] verwendet man, wenn gesagt wird, welches Element auf welches abgebildet wird (/*)- worüber wir bei dieser Aufgabe überhaupt nichts wissen.
>
> a) [mm][mm] M_1\in\{1,...n\}\gdw M_2\in\{1,..n\}
[/mm]
Was meinst Du damit?
> : f(n)=f(n+1)
Wieso? Das wird nirgends gesagt.
Ah, ich verstehe jetzt doch, was Du willst: Du willst aufschreiben, daß f injektiv ist.
So:
Aus [mm] f(k_1)=f(k_2) [/mm] folgt [mm] k_1=k_2.
[/mm]
Diese Aufgabe besteht ja aus einem ganzen Schwung von Beweisen, denn Du sollst ja die Äquivalenz all der Aussagen beweisen.
Du mußt also von jeder Aussage zu jeder kommen können.
Eine Möglichkeit wäre zu zeigen, daß a)==>b), b==>c), c)==>a)
Aber einiges andere ist denkbar, was Du bequem findest, finde mal lieber selbst heraus.
Führe auf jeden Fall die Beweise fein säuberleich getrennt und schreibe immer schön auf, was Voraussetzung ist und was Du zeigen willst.
Du mußt ja nicht labern und nicht lyrisch werden, aber statt unverständlicher bzw. falscher pfeile wäre es doch geschickt, das eine oder andere Wort zu riskieren.
Pfeile und Quantoren sehen zwar schick aus, aber sie erhöhen das Verständnis nicht in jedem Fall.
Mal zu "a) ==> b)"
man hat also die Funktion f, die aus der n-elementigen Menge [mm] M:=\{1,...n\} [/mm] in ebendiese Menge abbildet - wie sie das tut, wissen wir nicht. Nur, daß sie es tut.
Nun soll gezeigt werden, daß aus der Injektivität von f die Surjektivität folgt.
(Mach Dir mal an einem Bildchen klar, daß das so sein muß. Solange es Dir für die Menge [mm] \{1,2,3,4\} [/mm] nicht klar ist, brauchst Du nicht anzufangen...)
Jetzt geht es los:
Voraussetzung: [mm]f:\{1,..,n\}\to\{1,...n\}[/mm] ist injektiv, dh. aus [mm] f(k_1)=f(k_2) [/mm] folgt [mm] k_1=k_2
[/mm]
Zu zeigen: f ist surjektiv, dh. zu jedem [mm] y\in \{1,...n\} [/mm] findet man ein [mm] x\in \{1,...n\} [/mm] mit f(x)=y.
Beweis: Sei [mm]f:\{1,..,n\}\to\{1,...n\}[/mm] ist injektiv.
(Nun könntest Du einen Beweis durch Widerspruch führen, indem Du annimmst, daß f nicht surjektiv ist. Dann gibt es ein Element im Wertebereich, auf welches kein Element abgebildet wird. Auch diesen Beweis könntest Du probehalber erstmal für [mm] \{1,2,3,4\} [/mm] führen.)
Gruß v. Angela
(/*)Beispiel:
[mm] f:\IN\to \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto x^2+3
[/mm]
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