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| Aufgabe | | Zeige: [mm] \phi:(x,y)->\pmat{ x & -y \\ y & x } [/mm] erfüllt [mm] \phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y) [/mm] |
Ich bin bei dieser Fragestellung etwas verwirrt. Ich weiß das man die komplexen Zahlen [mm] \IC [/mm] auch mit [mm] \pmat{ x & -y \\ y & x } [/mm] identifizieren kann, wie mir das hier weiterhelfen könnte aber nicht.
Wie schaut überhaupt [mm] \phi(x) [/mm] aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 So 12.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe keine Ahnung. Das einzige, was ich mir vorstellen kann, ist:
> Zeige: [mm]\phi:(x,y)->\pmat{ x & -y \\
y & x }[/mm] erfüllt
> [mm]\phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y)[/mm]
> Ich bin bei dieser Fragestellung etwas verwirrt. Ich weiß
> das man die komplexen Zahlen [mm]\IC[/mm] auch mit [mm]\pmat{ x & -y \\
y & x }[/mm]
> identifizieren kann, wie mir das hier weiterhelfen könnte
> aber nicht.
>
> Wie schaut überhaupt [mm]\phi(x)[/mm] aus?
[mm]\phi:(x,y)\mapsto\pmat{ x & -y \\
y & x }=x*\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }+y*\pmat{ 0 & -1 \\
1 & 0 }=\pmat{ x & 0 \\
0 & x }+\pmat{ 0 & -y \\
y& 0 }=\phi(x)+\phi(y) [/mm]
[mm]\phi(x)\mapsto\pmat{ x & 0 \\
0 & x }=x*1+0*i\in\IC [/mm] bzw. [mm]\phi(y)\mapsto\pmat{ 0 & -y \\
y & 0 }=0*1+y*i\in\IC [/mm]
Dann wäre
[mm]\phi(x)*\phi(y)=\pmat{ x & 0 \\
0 & x }*\pmat{ 0 & -y \\
y & 0}=\pmat{ 0 & -xy \\
xy & 0}=x*\phi(y)=\phi(x*y)[/mm]
Aber so wirklich glaube ich da selbst nicht dran ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige: [mm]\phi:(x,y)->\pmat{ x & -y \\ y & x }[/mm] erfüllt
> [mm]\phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y)[/mm]
> Ich bin bei dieser Fragestellung etwas verwirrt. Ich weiß
> das man die komplexen Zahlen [mm]\IC[/mm] auch mit [mm]\pmat{ x & -y \\ y & x }[/mm]
> identifizieren kann, wie mir das hier weiterhelfen könnte
> aber nicht.
>
> Wie schaut überhaupt [mm]\phi(x)[/mm] aus?
eben deswegen macht die Frage auch keinen Sinn - bzw. ist schlecht (unvollständig) formuliert. Also ggf. ab zum Aufgabensteller gehen und nachfragen 
Gehst Du nicht nachfragen:
Das einzige, was ich raten würde:
[mm] $$\phi: \IR^2(\cong \IC) \to \IR^{2 \times 2}$$
[/mm]
ist definiert als
[mm] $$\phi(x,y):=\pmat{x & -y \\y & x} \text{ für alle }(x,y)^T \in \IR^2 \text{ bzw. }x+i*y \in \IC\,.$$
[/mm]
Und $x*y$ ist hier im Sinne von [mm] $x*y=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] * [mm] \vektor{y_1\\y_2}=(x_1+i*x_2)*(y_1+i*y_2)$ [/mm] gemeint:
Also [mm] $x=x_1+i*x_2$ [/mm] und [mm] $y=y_1+i*y_2$ ($x_1,x_2,y_1,y_2 \in \IR$) [/mm] liefert wegen [mm] $x*y=x_1y_1-x_2y_2+i*(x_1y_2+x_2y_1)=\vektor{x_1y_1-x_2y_2\\x_1y_2+x_2y_1}$
[/mm]
[mm] $$\phi(x*y)=\phi(\;x_1y_1-x_2y_2,\;\;x_1y_2+x_2y_1\;)=\ldots$$
[/mm]
Also $x*y$ ist für $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] quasi "das Ergebnis des Produkts, wenn man [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\IC$ [/mm] identifiziert".
P.S.:
Demnach wäre
[mm] $$\phi(x)*\phi(y)=\pmat{x_1&-x_2\\x_2&x_1}*\pmat{y_1&-y_2\\y_2&y_1}=\ldots$$
[/mm]
(kannst Du sicher zu Ende rechnen). Das scheint also zu passen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Zeige: [mm]\phi:(x,y)->\pmat{ x & -y \\ y & x }[/mm] erfüllt
> [mm]\phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y)[/mm]
> Ich bin bei dieser Fragestellung etwas verwirrt. Ich weiß
> das man die komplexen Zahlen [mm]\IC[/mm] auch mit [mm]\pmat{ x & -y \\ y & x }[/mm]
> identifizieren kann, wie mir das hier weiterhelfen könnte
> aber nicht.
sollst Du auch nicht. Denn der Sinn der Aufgabe besteht doch darin, dass man sagt:
Wenn man $x,y [mm] \in \IR^2 \cong \IC$ [/mm] hat und dann [mm] $x=(x_1,x_2)^T$ [/mm] mit [mm] $X:=\pmat{x_1 & -x_2\\x_2&x_1}$ [/mm] identifiziert sowie [mm] $y=(y_1,y_2)^T$ [/mm] mit [mm] $Y:=\pmat{y_1&-y_2\\y_2&y_1}\,,$ [/mm] dann ist es egal, ob ich das komplexe Produkt $x*y$ direkt in [mm] $\IC$ [/mm] berechne, oder ob ich das Matrixprodukt $X*Y$ berechne und "die Ergebnismatrix wieder mit dem entsprechenden [mm] $\IR^2$-Vektor [/mm] bzw. der entsprechenden komplexen Zahl identifiziere".
Anders gesagt: Die Aufgabe beweist einen Teil, den man braucht, um oben die komplexen Zahlen mit den obigen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen "in sinnvoller Weise" identifizieren zu können. Denn es wäre doch schlecht, wenn etwa $(1+i)*(1+i)$ etwas anderes ergeben würde wie das Ergebnis des Matrixproduktes [mm] $\pmat{1 & -1\\1 & 1}\pmat{1 & -1 \\ 1 & 1}\,,$ [/mm] wenn man das Ergebnis dieses Matrixproduktes wieder mit der entsprechenden komplexen Zahl identifiziert. Das hieße dann nämlich: Es wäre nicht egal, "mit welcher Darstellung man Produkte komplexer Zahlen berechnet" - grob gesagt.
Gruß,
Marcel
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