abelsch und nicht-isomorph? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 28.10.2009 | | Autor: | muesmues |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jede Gruppe der Ordnung 4 ist abelsch. Es gibt genau zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 4. |
Ich dacht dass nur [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] abelsch sind. und [mm] A_5 [/mm] die kleinste nicht abelsche einfache Gruppe ist.
Was ist denn dann [mm] A_4? [/mm]
Was hat das Ganze mit nicht-isomorph zu tun???
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!!!
Danke schon mal!
grüße
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Hallo muesmus,
du sollst zeigen: Sei G eine Gruppe und $|G| = 4$, dass dann G abelsch ist.
G hat also 4 verschiedene Elemente, hat also die Form:
$|G| = [mm] \{e,a,b,c\}$
[/mm]
wobei e das neutrale Element der Gruppe darstellt.
Zeige nun, dass G abelsch ist, überlege dir dazu, was [mm] $a\circ [/mm] b$ sein kann und wieso die Verknüpfung dann kommutativ sein muss.
Du wirst sehen, dass es für [mm] $a\circ [/mm] b$ genau 2 Fälle gibt, damit erhälst du 2 nicht isomorphe Gruppen (warum?).
Zeige dann, dass eine neue Gruppe H mit $|H| = 4$ entweder isomorph zum einen Fall oder isomorph zum anderen Fall ist, denn dann hast du ja gezeigt, dass es nur diese 2 Fälle gibt.
Das ergibt sich dann aber ganz leicht aus deinen Vorüberlegungen.
MFG,
Gono.
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also, dass jede Gruppe der Ordnung 4 abelsch ist, weiß ich, wie ich das zeige, aber das mit dem nicht-isomorph ist mir nicht so ganz klar;
was genau zeige ich denn, wenn ich zeigen will, dass es nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung vier gibt?
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Zeige, dass es keinen Isomorphismus zwischen beiden Gruppen gibt, das ist aber nicht sonderlich schwer, da jeder Isomorphismus insbesondere ein Homomorphismus ist.
Nun zeige, dass es diesen nicht geben kann, indem du annimmst, es gäbe einen und zeigst, dass es keiner ist.
MFG,
Gono.
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