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| Aufgabe | Ist die Ordnung einer Gruppe das Quadrat einer Primzahl p, so ist die besagte Gruppe abelsch, in Formeln: [mm] |G|=p^2 \Rightarrow [/mm] Z(G)=G (wobei Z(G) das Zentrum von G ist).
Beweis: Nach vorheriger Proposition hat das Zentrum unserer Gruppe mindestens p Elemente. Gäbe es nun außerhalb des Zentrums noch ein Element unserer Gruppe, so müsste dieses Element zusammen mit dem Zentrum eine kommutative Untergruppe mit mehr als p Elementen erzeugen, und diese wäre wegen dem Satz von Lagrange notwendig bereits die ganze Gruppe. |
Hallo!
Der obige Beweis ist mir noch nicht ganz klar.
Nach vorheriger Proposition hat das Zentrum unserer Gruppe mindestens p Elemente. (<-- klar )
Gäbe es nun außerhalb des Zentrums noch ein Element unserer Gruppe, (<-- also |Z(G)| [mm] \not= p^2 [/mm] )
so müsste dieses Element zusammen mit dem Zentrum eine kommutative Untergruppe mit mehr als p Elementen erzeugen, (<-- das verstehe ich nicht. Warum gilt das? )
und diese wäre wegen dem Satz von Lagrange notwendig bereits die ganze Gruppe. (<-- weil p Primzahl )
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße,
Lily
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> Ist die Ordnung einer Gruppe das Quadrat einer Primzahl p,
> so ist die besagte Gruppe abelsch, in Formeln: [mm]|G|=p^2 \Rightarrow[/mm]
> Z(G)=G (wobei Z(G) das Zentrum von G ist).
>
> Beweis: Nach vorheriger Proposition hat das Zentrum unserer
> Gruppe mindestens p Elemente. Gäbe es nun außerhalb des
> Zentrums noch ein Element unserer Gruppe, so müsste dieses
> Element zusammen mit dem Zentrum eine kommutative
> Untergruppe mit mehr als p Elementen erzeugen, und diese
> wäre wegen dem Satz von Lagrange notwendig bereits die
> ganze Gruppe.
> Hallo!
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> Der obige Beweis ist mir noch nicht ganz klar.
>
> Nach vorheriger Proposition hat das Zentrum unserer Gruppe
> mindestens p Elemente. (<-- klar )
>
> Gäbe es nun außerhalb des Zentrums noch ein Element
> unserer Gruppe, (<-- also |Z(G)| [mm]\not= p^2[/mm] )
>
> so müsste dieses Element zusammen mit dem Zentrum eine
> kommutative Untergruppe mit mehr als p Elementen erzeugen,
> (<-- das verstehe ich nicht. Warum gilt das? )
Hallo,
die Mächtigkeit der Menge die entsteht, wenn man zu Z(G) das besagte Element hinzufügt, ist p+1.
Die von p+1 verschiedenen Elementen erzeugte Gruppe hat mindestens die Mäctigkeit p+1, denn jedes der Elemente ist ja drin.
Man weiß´, daß die von Teilmengen erzeugten Mengen Untergruppen der Gruppe sind. Also hat man ier eine Untergruppe, die mindestens die Mächtigkeit p+1 hat.
Ihre Ordnung teilt [mm] p^2, [/mm] und weil sie größer als p ist, bleibt nur die Ordnung [mm] p^2.
[/mm]
LG Angela
>
> und diese wäre wegen dem Satz von Lagrange notwendig
> bereits die ganze Gruppe. (<-- weil p Primzahl )
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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Hallo Angela!
Danke für die rasche Antwort!
> > so müsste dieses Element zusammen mit dem Zentrum eine
> > kommutative Untergruppe mit mehr als p Elementen erzeugen,
> > (<-- das verstehe ich nicht. Warum gilt das? )
>
> Hallo,
>
> die Mächtigkeit der Menge die entsteht, wenn man zu Z(G)
> das besagte Element hinzufügt, ist p+1.
> Die von p+1 verschiedenen Elementen erzeugte Gruppe hat
> mindestens die Mäctigkeit p+1, denn jedes der Elemente ist
> ja drin.
> Man weiß´, daß die von Teilmengen erzeugten Mengen
> Untergruppen der Gruppe sind. Also hat man ier eine
> Untergruppe, die mindestens die Mächtigkeit p+1 hat.
> Ihre Ordnung teilt [mm]p^2,[/mm] und weil sie größer als p ist,
> bleibt nur die Ordnung [mm]p^2.[/mm]
>
Das macht Sinn ^^
Aber was ich noch nicht verstehe ist: warum muss diese UG kommutativ sein?
Liebe Grüße,
Lily
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Hallo Lily!
Wie sehen denn Elemente [mm]u, v[/mm] dieser Untergruppe aus?
Betrachte [mm]uv[/mm] und [mm]vu[/mm], wobei [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] als Produkte gewisser Elemente dargestellt werden.
Dann siehst du, dass [mm]uv = vu[/mm] ist, oder?
LG funnel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 15.08.2016 | | Autor: | hippias |
Manchmal hilft es etwas zurückzutreten, um Dinge klarer zu sehen - und das rechnen mit Elementen ist ja etwas verpönt.
Man betrachte folgende Situation: sei $G$ und Gruppe und [mm] $Z\leq [/mm] Z(G)$. Ferner sei [mm] $x\in [/mm] G$ und $U:= <x,Z>$ die von $x$ und $Z$ erzeugte Untergruppe.
Da $Z$ sogar in $G$ zentral liegt, gilt dies erst recht für $U$, d.h. [mm] $Z\leq [/mm] Z(U)$. Ferner wird $x$ natürlich von $x$ zentralisiert und von $Z$ sowieso, sodass $x$ von ganz $U$ zentralsiert wird. Fazit: auch [mm] $x\in [/mm] Z(U)$. Damit ist $Z(U)= U= <x,Z>$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Mo 15.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aha, ich habe es jetzt verstanden, ihr habt mir beide sehr dabei geholfen! Vielen Dank 
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