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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Fr 04.12.2009 | | Autor: | RomyM |
| Aufgabe | | Gilt a²=e für alle Elemente a Element G einer Gruppe G mit Einselement e, so ist G abelsch. Man gebe außerdem ein Beispiel einer derartigen Gruppe an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
guten abend ;)
mein Lösungsansatz zu dieser Aufgabe wäre: es muss gezeigt werden, dass [mm] a_{1}*a_{2} [/mm] = [mm] a_{2}*a_{1} [/mm] ist. da, wenn G abelsch ist, Kommutativität gilt
da a²=e so kann ich durch multiplizieren von einselementen und assoziativgesetz obiges nachweisen:
[mm] a_{1}*a_{2} [/mm] = [mm] (a_{1}*a_{2})*a² [/mm] = a² * [mm] a_{1}*a_{2} [/mm] * a² = (a² * [mm] a_{1}) [/mm] * [mm] (a_{2} [/mm] * a²) = (a² * [mm] a_{2})*(a_{1} [/mm] * a²) = a² * [mm] (a_{2} [/mm] * [mm] a_{1}) [/mm] * a² = [mm] a_{2} [/mm] * [mm] a_{1}
[/mm]
Beispiele einer abelschen Gruppe:
- jede zyklische Gruppe ist abelsch
- (Z, +)
- (R, +)
- (R \ {0}), *)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Fr 04.12.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> guten abend ;)
>
> mein Lösungsansatz zu dieser Aufgabe wäre: es muss
> gezeigt werden, dass [mm]a_{1}*a_{2}[/mm] = [mm]a_{2}*a_{1}[/mm] ist. da,
> wenn G abelsch ist, Kommutativität gilt
>
genau!
>
> da a²=e so kann ich durch multiplizieren von einselementen
> und assoziativgesetz obiges nachweisen:
>
> [mm]a_{1}*a_{2}[/mm] = [mm](a_{1}*a_{2})*a²[/mm] = a² * [mm]a_{1}*a_{2}[/mm] * a² =
> (a² * [mm]a_{1})[/mm] * [mm](a_{2}[/mm] * a²)
bis hierher kann ich Dir folgen...
> = (a² * [mm]a_{2})*(a_{1}[/mm] * a²)
...aber wie Du jetzt darauf gekommen bist ist mir ein Rätsel ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Warum kommt an dieser Stelle auf einmal [mm] $a_2$ [/mm] nach vorne???? Oder hast Du da ein Gesetz angewendet, das mir unbekannt ist?
Die Idee, mit Einselementen zu ergänzen ist schon mal ganz gut. Allerdings hilft uns da das ergänzen mit beliebigem [mm] a^2 [/mm] nicht wirklich weiter. Du musst in diesem Fall schon ein a wählen, das etwas mit [mm] a_1 [/mm] oder [mm] a_2 [/mm] zu tun hat.
Da [mm] a^2=e [/mm] für alle Elemente der Gruppe gilt gibt es da ja viele Möglichkeiten, hier nur ein paar davon:
[mm] a_1^2=e
[/mm]
[mm] a_2^2=e
[/mm]
[mm] (a_1a_2)^2=e
[/mm]
[mm] (a_2a_1)^2=e
[/mm]
>
> Beispiele einer abelschen Gruppe:
>
> - jede zyklische Gruppe ist abelsch
> - (Z, +)
> - (R, +)
> - (R \ {0}), *)
>
OK, das sind schon mal gute Beispiele für abelsche Gruppen. Ich glaube aber doch, dass in der Aufgabe eher nach Beispielen für Gruppen mit [mm] $a^2=e \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G$ gefragt ist.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:33 Sa 05.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Guten Morgen,
vielen Dank für die schnelle Antwort! =)
Ich habe mich gleich nochmal daran versucht, allerdings komme ich da nicht so wirklich weiter; wenn ich links/ bzw. rechts ein Einselement ranmultipliziere, also [mm] a_{1}^{2} [/mm] , [mm] a_{2}^{2} [/mm] oder [mm] (a_{1}a_{2})^{2} [/mm] , [mm] (a_{2}a_{1})^{2} [/mm] und dann versuche umzuklammern, kann ich doch niemals darauf kommen, dass [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] am Ende vertauscht sind, oder? Jedenfalls nicht mit dem normalen Assoziativgesetz.. Das Kommutativgesetz darf ich ja meines Wissen nicht nutzen, da ich dieses ja letztendlich, da abelsch, zeigen muss.
lg, Romy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Sa 05.12.2009 | | Autor: | piet.t |
Doch, man kommt rein durch ergänzen von Einsen und umklammern ans Ziel.
Nehmen wir mal an, wir starten mit [mm] $a_1a_2$. [/mm] Dann brauchen wir um auf [mm] $$a_2a_1$ [/mm] zu kommen doch links (mindestens) ein [mm] $a_2$ [/mm] und rechts (mindestens)ein [mm] $a_1$. [/mm] Was sollte man also sinnvollerweise ergänzen?
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 05.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Hm also sinnvoll wäre ja, wenn ich von links eine [mm] a_{2}^{2} [/mm] und rechts eine [mm] a_{1}^{2} [/mm] ranmultipliziere. Wenn ich dann klammere sieht das ganze so aus: [mm] (a_{2}^{2}*a_{1})*(a_{2}*a_{1}^{2}). [/mm] Durch weiteres heranmultiplizieren komme ich dann auf: [mm] (a_{2}^{2}*a_{1})*a_{1}^{2}*(a_{2}*a_{1}^{2}) [/mm] und weiter zu: [mm] a_{2}^{2}*a_{1}*(a_{1}^{2}*a_{2})*a_{1}^{2} [/mm] aber das bringt mich nicht wirklich zum Ziel, dass am Ende [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] vertauscht ist... Habe ich da einen Denkfehler drin?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Sa 05.12.2009 | | Autor: | piet.t |
> Hm also sinnvoll wäre ja, wenn ich von links eine
> [mm]a_{2}^{2}[/mm] und rechts eine [mm]a_{1}^{2}[/mm] ranmultipliziere. Wenn
> ich dann klammere sieht das ganze so aus:
> [mm](a_{2}^{2}*a_{1})*(a_{2}*a_{1}^{2}).[/mm] Durch weiteres
> heranmultiplizieren komme ich dann auf:
> [mm](a_{2}^{2}*a_{1})*a_{1}^{2}*(a_{2}*a_{1}^{2})[/mm] und weiter
> zu: [mm]a_{2}^{2}*a_{1}*(a_{1}^{2}*a_{2})*a_{1}^{2}[/mm] aber das
> bringt mich nicht wirklich zum Ziel, dass am Ende [mm]a_{1}[/mm] und
> [mm]a_{2}[/mm] vertauscht ist... Habe ich da einen Denkfehler drin?
>
> Lg
Lass mal das [mm] $a_1^2$ [/mm] in der Mitte weg, das braucht man nicht.
Dann hast Du doch
[mm] $(a_2 \cdot a_2)\cdot(a_1 \cdot a_2)\cdot(a_1 \cdot a_1)$
[/mm]
Das kann man nun so umklammern:
[mm] $a_2 \cdot (a_2 \cdot a_1) \cdot (a_2 \cdot a_1) \cdot a_1$
[/mm]
Fällt Dir da was auf?
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Sa 05.12.2009 | | Autor: | RomyM |
Ah ok, ich glaub ich habs endlich
also hab ich in der Mitte dann zweimal [mm] (a_{2}*a_{1}) [/mm] was zusammen wieder eins ergibt, da [mm] (a_{2}*a_{1})^{2} [/mm] = 1 laut Aufgabenstellung und dann bleibt nur noch [mm] a_{2}*a_{1} [/mm] übrig.
Vielen lieben dank und ein schönes 2. Adventswochenende ;)
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