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| Aufgabe | Sei X eine beliebige Menge, und sei [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] ihre Potenzmenge. Wir definieren eine Verknüpfung [mm] \Delta:\mathcal{P}(X)\times\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X), (A,B)\mapsto A\Delta B:=(A\backslash B)\cup (B\backslash [/mm] A).
Zeige, dass [mm] (\mathcal{P}(X),\Delta) [/mm] auf diese Weise zu einer abelschen Gruppe wird. Was ist das neutrale Element? |
Hallo,
ich soll bei diese Aufgabe also zeigen, dass [mm] (\mathcal{P}(X),\Delta) [/mm] zu einer Gruppe wird, bei der die Verknüpfung kommutativ ist. Wie man das aber macht, weiß ich nicht, ebenso nicht, was das neutrale Element ist.
Könnte mir bitte jemand dabei helfen? Ich würde mich sehr freuen!
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo mastermoney,
> Sei X eine beliebige Menge, und sei [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] ihre
> Potenzmenge. Wir definieren eine Verknüpfung
> [mm]\Delta:\mathcal{P}(X)\times\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X), (A,B)\mapsto A\Delta B:=(A\backslash B)\cup (B\backslash[/mm]
> A).
> Zeige, dass [mm](\mathcal{P}(X),\Delta)[/mm] auf diese Weise zu
> einer abelschen Gruppe wird. Was ist das neutrale Element?
> Hallo,
>
> ich soll bei diese Aufgabe also zeigen, dass
> [mm](\mathcal{P}(X),\Delta)[/mm] zu einer Gruppe wird, bei der die
> Verknüpfung kommutativ ist. Wie man das aber macht, weiß
> ich nicht, ebenso nicht, was das neutrale Element ist.
> Könnte mir bitte jemand dabei helfen? Ich würde mich
> sehr freuen!
Mache dir erstmal klar, dass die (vermeintlichen) Gruppenelemente Mengen sind, nämlich Teilmengen von X.
Dann gilt es, die Gruppenaxiome nachzuweisen.
Halte dich dabei einfach an die Definition von [mm] $\Delta$
[/mm]
Hier ist die Assoziativität ein bisschen lästig, schwierig ist das alles nicht.
Ich zeige dir mal die Kommutativität, damit du siehst, wie das vom Prinzip her fluppt:
Zu zeigen ist, dass für bel. [mm] $A,B\in\mathcal{P}(X)$ [/mm] gilt:
[mm] $A\Delta B=B\Delta [/mm] A$
Nehmen wir also bel. [mm] $A,B\subset [/mm] X$ her:
Dann ist [mm] $A\Delta B=(A\setminus [/mm] B) \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] (B\setminus [/mm] A)$
[mm] $=(B\setminus [/mm] A) \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] (A\setminus [/mm] B)$ denn die Vereinigung von Mengen ist kommutativ
[mm] $=B\Delta [/mm] A$
fertig!
Was die Frage nach dem neutralen Element $N$ betrifft:
Es muss ja für bel. [mm] $A\subset [/mm] X$ gelten:
[mm] $A\Delta N=N\Delta [/mm] A=A$ (die Kommut. haben wir schon, es reicht also eines zu zeigen)
Also [mm] $(A\setminus [/mm] N) \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] (N\setminus [/mm] A)=A$
Probier's mal naheliegend mit [mm] $N=\emptyset$ [/mm] oder $N=X$ ...
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die Hilfe!
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