abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bsp für eine nicht abelsche Gruppe mit Beweis |
Bin grad an den Thema Gruppen dran. Eine mögliche Testfrage ist laut Tutor, ein beispiel für eine nicht abelsche Gruppe zu nennen mit beweis.
Weiß wer von euch ein einfaches Bsp, so dass es nicht zu kompliziert wird?
Ich dachte an Funktionen, da ist doch die Komposition von Funktionen nicht abelsch. Soll ich dass dan mit einen Gegenbsp beweisen?
Fütr internetseiten mit einem Bsp wäre ich auch dankbar
Dann, hab ich noch eine Frage: Könnt ihr mir ein Bsp zu Gruppenhomomorphismus nennen?
LG
|
|
| |
|
Hallo,
> Bsp für eine nicht abelsche Gruppe mit Beweis
> Bin grad an den Thema Gruppen dran. Eine mögliche
> Testfrage ist laut Tutor, ein beispiel für eine nicht
> abelsche Gruppe zu nennen mit beweis.
> Weiß wer von euch ein einfaches Bsp, so dass es nicht zu
> kompliziert wird?
Hallo, ja die symmetrische Gruppe [mm] S_3=\{n:\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}\} [/mm] ist nicht abelsch.
Dort gilt z. B.
[mm] $(12)\circ(23)=(312)\neq [/mm] (132)=(23)(12)$.
> Dann, hab ich noch eine Frage: Könnt ihr mir ein Bsp zu
> Gruppenhomomorphismus nennen?
Es gibt sehr viele...hattet ihr keine Beispiele?
[mm] \det:Gl(n,K)\to(K^\*, \cdot)
[/mm]
ist ein Gruppenhomomorphismus, wobei K ein beliebiger Körper, [mm] K^\*=K\backslash\{0\} [/mm] die dazu gehörige multiplikative Gruppe ist.
LG
|
|
|
| |
|
> Hallo, ja die symmetrische Gruppe $ [mm] S_3=\{n:\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}\} [/mm] $ ist nicht abelsch.
> Dort gilt z. B.
$ [mm] (12)\circ(23)=(312)\neq [/mm] (132)=(23)(12) $.
Ich versteh nicht genau was du machst, kannst du das vielleicht in einzelnen Schritten erklären, weil so versteh ich das gar nicht. Will ja nicht nur ein Bsp hinschreiben können - sondern es auch erklären können.
DU bildest die Menge [mm] \{1,2,3\} [/mm] auf der Menge [mm] \{1,2,3\} [/mm] selbst ab oder wie
Odre sind dass keine Funktionen?, wie ich in meinen ersten Post sagte?.
Du merkst, ich hab nicht wirklich eine Ahnung von dem Bsp. (weil ich z.B auch noch nie was von symmetrischen Gruppen gehört habe).
Vielleicht könntest du noch ein anderes wählen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Do 08.12.2011 | | Autor: | sandp |
der Unterschied von ein Gruppe zu einer abelschen Gruppe ist, dass bei der abelschen Gruppe auch das Kommutativgesetz gelten muss und hier zeigt er
$ [mm] (12)\circ(23)=(312)\neq (132)=(23)\circ(12) [/mm] $.
dass das Kommutativgesetz nicht gilt
|
|
|
| |
|
Das weiß ich schon ;)
Aber ich verstehe nicht wie er das Bsp macht. Also was er im Bsp macht?
Das weiß ich schon ;)
Aber ich verstehe nicht wie er das Bsp macht. Also was er im Bsp macht?
Meine ausgangsbedingungen fehlen um das Bsp wirklich zu verstehen.
S ={1,2,3}
ALso ich soll jetzt die Permutationen betrachten?? Z.B die nach rechts drehende
r=
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 1
oder diese hier
[mm] f_1
[/mm]
f(1) =1
f(2) = 3
f(3) =2
oder
[mm] f_2 [/mm]
f(1) = 2
f(2) = 1
f(3) = 3
oder
[mm] f_3
[/mm]
f(1) = 3
f(2) = 2
f(3) = 1
r [mm] \circ f_1 [/mm] = [mm] f_2
[/mm]
[mm] f_1 \circ [/mm] r = [mm] f_3
[/mm]
=> nicht gleich
Kann ich das so als Bsp anschreiben?Machst du in dienen Bsp sozusagen dasselbe nur in anderer Anschrift??
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich versuchs mal so:
Sei [mm] S_3 [/mm] die Menge aller Bijektionen von [mm] \{1,2,3\} [/mm] auf [mm] \{1,2,3\}.
[/mm]
[mm] S_3 [/mm] ist mit der Verknüpfung " [mm] \circ [/mm] " eine Gruppe.
Nun finde Du mal $f,g [mm] \in S_3$ [/mm] mit $f [mm] \circ [/mm] g [mm] \ne [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$
[mm] S_3 [/mm] ist also nicht Abelsch
FRED
|
|
|
| |
|
> Nun finde Du mal $ f,g [mm] \in S_3 [/mm] $ mit $ f [mm] \circ [/mm] g [mm] \ne [/mm] g [mm] \circ [/mm] f $
> $ [mm] S_3 [/mm] $ ist also nicht Abelsch
Hab ich nicht in meinen vorigen Post ein Beispiel gezeigt?
f (1) =1
f (2) = 3
f (3) = 2
g(1) = 2
g(2) = 3
g(3) = 1
(f [mm] \circ [/mm] g ) (1) = 3
(f [mm] \circ [/mm] g ) (2) = 2
(f [mm] \circ [/mm] g ) (3) = 1
(g [mm] \circ [/mm] f ) (1) = 2
(g [mm] \circ [/mm] f ) (1) = 1
(g [mm] \circ [/mm] f ) (1) = 3
f [mm] \circ [/mm] g [mm] \not= [/mm] g [mm] \circ [/mm] f
Kann ich es so machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Nun finde Du mal [mm]f,g \in S_3[/mm] mit [mm]f \circ g \ne g \circ f[/mm]
>
> > [mm]S_3[/mm] ist also nicht Abelsch
>
> Hab ich nicht in meinen vorigen Post ein Beispiel gezeigt?
> f (1) =1
> f (2) = 3
> f (3) = 2
>
> g(1) = 2
> g(2) = 3
> g(3) = 1
>
> (f [mm]\circ[/mm] g ) (1) = 3
> (f [mm]\circ[/mm] g ) (2) = 2
> (f [mm]\circ[/mm] g ) (3) = 1
>
> (g [mm]\circ[/mm] f ) (1) = 2
> (g [mm]\circ[/mm] f ) (1) = 1
> (g [mm]\circ[/mm] f ) (1) = 3
>
> f [mm]\circ[/mm] g [mm]\not=[/mm] g [mm]\circ[/mm] f
> Kann ich es so machen?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
Hei, danke ;)
Ich hätte noch eine frage zu der anderen Schreibweise!#
>Hallo, ja die symmetrische Gruppe $ [mm] S_3=\{n:\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}\} [/mm] $ ist nicht abelsch.
>Dort gilt z. B.
> $ [mm] (12)\circ(23)=(312)\neq [/mm] (132)=(23)(12) $.
bedeutet dies hier das selbe? Oder wie ist die schreibweise zu verstehen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hei, danke ;)
> Ich hätte noch eine frage zu der anderen Schreibweise!#
>
> >Hallo, ja die symmetrische Gruppe
> [mm]S_3=\{n:\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}\}[/mm] ist nicht abelsch.
>
> >Dort gilt z. B.
>
> > [mm](12)\circ(23)=(312)\neq (132)=(23)(12) [/mm].
> bedeutet dies hier das selbe? Oder wie ist die schreibweise
> zu verstehen?
Hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Permutation
findest Du alles.
FRED
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Do 08.12.2011 | | Autor: | theresetom |
okay aber da wir es nicht gelernt, haben werd ich es so machen, wie in meinen Post. Ist ja laut euch genauso richtig!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Do 08.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
habt ihr wirklich keine Kurzschreibweise für Permutationen gehabt?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Do 08.12.2011 | | Autor: | theresetom |
hallo leduart.
Nein wie in meinen Post geschrieben.
Wir hatten Permutation nur kurz in einen Beispiel und da hat der Vortragende auch nicht mit einen Wort erwähnt, dass es sich hier um einer Permutation handelt. HAb ich dann später herausgefunden.
|
|
|
|
