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abelsche Gruppen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Sa 17.06.2006
Autor: sonnenfee23

Aufgabe
Sei G eine abelsche Gruppe und m := max{ord(g) |g [mm] \in [/mm] G}.
Beweisen Sie: dann gilt ord(g) |m für jedes g [mm] \in [/mm] G.  

Hallo!
Dies ist die zweite Aufgabe, von der mir die Haare zu Berge stehen,... Ich verstehe nur Bahnhof, d.h. kann mir es jemand erklären, wie ich vorgehen muss und mir Tipps/Lösung geben, damit ich so eine Aufgabe in einer Klausur lösen kann?!
Danke schonmal im Vorraus!

MfG

        
Bezug
abelsche Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:22 So 18.06.2006
Autor: Micha

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo!

> Sei G eine abelsche Gruppe und m := max{ord(g) |g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

G}.

>  Beweisen Sie: dann gilt ord(g) |m für jedes g [mm]\in[/mm] G.


Hmm das ist doch eigentlich nur schauen, was die Definitionen sagen:

$ord(g) = ord [mm] \left< g \right>$ [/mm] , also die Ordnung der von g erzeugten zyklischen Untergruppe. Und dann musst du noch schauen, dass [mm] $\left< g \right>$ [/mm] eine Untergruppe von G ist, dann folgt die Aussage nach dem Satz von Lagrange.

Gruß Micha ;-)

Bezug
        
Bezug
abelsche Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 So 18.06.2006
Autor: Jan_Z

Hallo,
ich verstehe irgendwie nicht, was Micha meint (welches g meint er und warum ist zu schauen, dass <g> eine Untergruppe von G ist?)
Habe einen anderen Vorschlag:
Sei h das Element maximaler Ordnung, sei g ein beliebiges Element von G und n dessen Ordnung. Zu zeigen ist: n|m.
Betrachte das Element gh. Es ist nicht schwierig zu zeigen (unter Verwendung der Tatsache, dass G abelsch ist), dass ord(gh)=kgV(m,n)=(mn)/ggT(m,n).
Angenommen n teilt nicht m, also ggT(m,n)<n, also kgV(m,n)>m. Dann ist aber ord(gh)>ord(h), im Widerspruch zur Maximalität von ord(h).
Viele Grüße,
Jan

Bezug
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