abelsche gruppe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Betrachten Sie die Menge [mm] M=\IR^2 [/mm] und die Verknüpfung [mm] \odot [/mm] MxM--> M definiert als:
[mm] \vektor{a1 \\ a2} \odot \vektor{b1 \\ b2} [/mm] := [mm] \pmat{ a1b1 &- a2b2 \\ a1b2 &- a2b1 }
[/mm]
Mit 0= [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und e= [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] soll ich zeigen dass (M\ {0}, [mm] \odot, [/mm] e) eine abelsche Gruppe ist
Reicht es aus, wenn ich die werte einfach einsetze?
Ich weiß sonst nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Do 02.12.2010 | | Autor: | m51va |
was heißt denn abelsche Gruppe. Da gibt es vier dinge die du zeigen musst. (also neutrales Element finden, das Inverse zu einem Element finden, Assoziativität zeigen und schließlich kommutativität zeigen.) das ist nicht schwer. musst die nur nochmal angucken was das alles bedeutet. M müsste [mm] $\R^2$ [/mm] heißen schließlich hast du dort einen Vektor stehen. wenn du damit nicht weiter kommst sag nochma bescheid, dann helfe ich weiter
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Das M ist so richtig, da kommt keine 2.
Wenn ich das neutrale Element suchen will, weiß ich nicht, wie und wo ich gucken soll...
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Hallo,
wenn Du grundsätzliche Probleme hast, dann solltest Du Dir erstmal notieren, was eine abelsche Gruppe ist, was also alles zu zeigen ist.
Du fragst in Deiner anderen Frage, wie Du das neutrale Element finden sollst.
Eigentlich (!) ist das hier kein Problem, Dir wird ja schon in der Aufgabenstellung mitgeteilt, daß das unten definierte e das neutrale Element ist, was Du nur noch verifizieren müßtest, indem Du [mm] \vektor{a_1\\a_2}\odot\vektor{1\\0} [/mm] berechnest.
Hier nun allerdings gibt es ein Problem: wenn man das ausrechnet, stellt man fest, daß [mm] e=\vektor{1\\0} [/mm] überhaupt nicht das neutrale Element ist, und bei weiterem Nachdenken (=Rechnen) bemerke ich, daß es hier überhaupt kein neutrales Element gibt...
Auch der nachweis der Kommutativität stellt mich übrigens vor Probleme.
Die Struktur ist nämlich nicht kommutativ...
Vielleicht überprüfst Du nochmal die Aufgabenstellung.
Alle Vorzeichen richtig etc.?
Sollst Du zeigen, daß es eine abelsche Gruppe ist, oder "prüfen ob"?
Gruß v. Angela
> Betrachten Sie die Menge [mm]M=\IR^2[/mm] und die Verknüpfung [mm]\odot[/mm]
> MxM--> M definiert als:
>
> [mm]\vektor{a1 \\
a2} \odot \vektor{b1 \\
b2}[/mm] := [mm]\pmat{ a1b1 &- a2b2 \\
a1b2 &- a2b1 }[/mm]
>
> Mit 0= [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm] und e= [mm]\vektor{1 \\
0}[/mm] soll ich
> zeigen dass (M\ {0}, [mm]\odot,[/mm] e) eine abelsche Gruppe ist
>
> Reicht es aus, wenn ich die werte einfach einsetze?
>
> Ich weiß sonst nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll...
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Zeigen Sie: Mit 0=... und e=... ist {M\ {0}, [mm] \odot, [/mm] e} eine abelsche Gruppe.
So steht es in der Aufgabenstellung.
Bei überprüfung einer Gruppe muss man vier Schritte durchgehen.
G1 Abgeschlossenheit
G2 Assoziativität
G3 inverses Element
G4 neutrales Elemnt.
Was mir Schwierigkeiten bereitet, sind die Vektoren.
Ich weiss nicht wie ich da etwas ablesen soll.
Eingesetzt komme ich auf [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] dieses ist =das neutrale Elemnt
[mm] e=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
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> Zeigen Sie: Mit 0=... und e=... ist [mm] \{M\ {0}, \odot, e\} [/mm] eine
> abelsche Gruppe.
>
> So steht es in der Aufgabenstellung.
>
>
> Bei überprüfung einer Gruppe muss man vier Schritte
> durchgehen.
> G1 Abgeschlossenheit
> G2 Assoziativität
> G3 inverses Element
> G4 neutrales Elemnt.
Hallo,
ja, und für "abelsch" noch die Kommutativität.
Beispiel Assoziativgesetz:
Zu zeigen ist hier, daß für alle a,b,c [mm] \in [/mm] M gilt
[mm] (a\odot b)\odot [/mm] c [mm] =a\odot (b\odot [/mm] c).
Seien also [mm] a,b,c\in [/mm] M.
[mm] M=\IR^2, [/mm] also ist [mm] a=\{a_1\\a_2} [/mm] mit [mm] a_1, a_2\in \IR, [/mm] die anderen entsprechend.
Und nun rechnest Du
[mm] \left[\vektor{a_1\\a_2}\odot \vektor{b_1\\b_2}\right]\odot \vektor{c_1\\c_2}
[/mm]
und
[mm] \vektor{a_1\\a_2}\odot\left[\vektor{b_1\\b_2}\odot \vektor{c_1\\c_2}\right]
[/mm]
aus und vergleichst die Ergebnisse.
>
> Was mir Schwierigkeiten bereitet, sind die Vektoren.
> Ich weiss nicht wie ich da etwas ablesen soll.
>
> Eingesetzt komme ich auf [mm]\vektor{1 \\
0}[/mm] dieses ist =das
> neutrale Elemnt
Hm. Komisch. Bei mir war's nicht das neutrale Element...
Bei mir gab's keins...
Wie hast Du das denn gezeigt?
Gruß v. Angela
> [mm]e=\vektor{1 \\
0}[/mm]
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Ich glaube ich hatte etwas falsche für das neutrale Elemnt raus.
Beim Nachrechnen finde ich auch keines...
Muss die Assoziativität zeigen, indem ich erst links dann rechts untersuche?
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> Ich glaube ich hatte etwas falsche für das neutrale Elemnt
> raus.
> Beim Nachrechnen finde ich auch keines...
Hallo,
tja, wenn es wirklich kein neutrales Element gibt, dann kannst Du aufhören, Dich zu fragen, ob eine Gruppe vorliegt.
Vielleicht solltest Du aber nochmal bei Deinen Chefs nachfragen, ob mit der Aufgabe alles in Ordnung ist.
> Muss die Assoziativität zeigen, indem ich erst links dann
> rechts untersuche?
Kann ich Dir nicht sagen, weil ich ja nicht weiß, was Du hier mit "rechts" und "links" meinst.
Aber ich hatte Dir doch auch genau gesagt, was Du nachrechnen mußt.
Allerdings: wenn's kein neutrales Element gibt, kannst Du Dir diesen Zirkus auch sparen...
Gruß v. Angela
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