abgeschlossen, Untervektorraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 18.09.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Wenn M ein Untervektorraum eines normierten Raumes ist, und dimM < [mm] \infty, [/mm] dann ist M eine abgeschlossene Teilmenge von X. |
Hallo.
Ich brauche etwas Hilfe bei obiger Aufgabe.
Ich habe eine "Musterlösung" (es war eine Aufgabe an der Tafel vorgerechnet), die ich an einigen Stellen nicht verstehe:
Wähle [mm] x_1,...,x_m [/mm] als Basis von M. Sei x [mm] \in \overline{M}. [/mm] zu zeigen: x [mm] \in [/mm] M. Zu n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] existiert [mm] y_n \in [/mm] M mit [mm] \parallel y_n [/mm] -x [mm] \parallel_X [/mm] < [mm] \frac{1}{n}, [/mm] damit [mm] y_n \to [/mm] x bzgl. [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_X.
[/mm]
Soweit erstmal. Warum existiert so ein [mm] y_n? [/mm] Wenn ich wüsste, dass x ein Häufungspunkt ist, dann ist das klar, denn in jeder offenen Menge, die x enthält, sind unendlich viele Folgeglieder. Aber warum kann ich allgemein argumentieren, dass [mm] y_n [/mm] existiert? Ist der Raum vollständig?
Weiter: Also ist [mm] (y_n)_n [/mm] Cauchyfolge bzgl. [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_X. [/mm] Da dimM < [mm] \infty [/mm] sind alle Normen äquivalent.
soweit klar.
Definiere [mm] \parallel [/mm] z [mm] \parallel_M [/mm] = [mm] max_{1\le i \le m} |a_i|, [/mm] wobei [mm] z=a_1x_1 [/mm] + ... + [mm] a_nx_n. \Rightarrow y_n \to a_1x_1+...+a_nx_n [/mm] bzgl [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_M.
[/mm]
Hier habe ich den Faden verloren. Was hat z mit x zu tun? Warum ist der Beweis fertig? Wie wurde gezeigt, dass x [mm] \in [/mm] M ist?
Über eine Antwort wäre ich sehr froh.
lg moerni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Sa 18.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn M ein Untervektorraum eines normierten Raumes ist, und
> dimM < [mm]\infty,[/mm] dann ist M eine abgeschlossene Teilmenge von
> X.
> Hallo.
>
> Ich brauche etwas Hilfe bei obiger Aufgabe.
>
> Ich habe eine "Musterlösung" (es war eine Aufgabe an der
> Tafel vorgerechnet), die ich an einigen Stellen nicht
> verstehe:
>
> Wähle [mm]x_1,...,x_m[/mm] als Basis von M. Sei [mm]x \in \overline{M}.[/mm]
> zu zeigen:[mm] x \in[/mm] M. Zu [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] existiert [mm]y_n \in M [/mm]
> mit [mm]\parallel y_n -x \parallel_X < \frac{1}{n},[/mm] damit [mm]y_n \to x[/mm] bzgl. [mm]\parallel * \parallel_X.[/mm]
>
> Soweit erstmal. Warum existiert so ein [mm]y_n?[/mm] Wenn ich
> wüsste, dass x ein Häufungspunkt ist,
Nach Voraussetzung ist $x [mm] \in \overline{M}$, [/mm] also gibt es eine Folge in M, die dagegen kovergiert.
> Weiter: Also ist [mm](y_n)_n[/mm] Cauchyfolge bzgl. [mm]\parallel * \parallel_X.[/mm]
> Da [mm]\dim M < \infty[/mm] sind alle Normen äquivalent.
>
> soweit klar.
>
> Definiere [mm]\parallel z \parallel_M = \max_{1\le i \le m} |a_i|[/mm], wobei [mm]z=a_1x_1 + \dots + a_nx_n[/mm].
Jetzt wird eine Norm definiert, mit der die Behauptung einfach zu zeigen ist. Da alle Normen in endlichdimensionalen Räumen äquivalent sind, ist die Behauptung auch für die Norm [mm]\parallel * \parallel_X[/mm] gezeigt.
> [mm]\Rightarrow y_n \to a_1x_1+...+a_nx_n[/mm] bzgl [mm]\parallel * \parallel_M[/mm] .
>
> Hier habe ich den Faden verloren. Was hat z mit x zu tun?
> Warum ist der Beweis fertig? Wie wurde gezeigt, dass x [mm]\in[/mm]
> M ist?
Das ist schlecht aufgeschrieben. Es ist zu zeigen, dass [mm] $y_n$ [/mm] in der Norm [mm]\parallel * \parallel_M[/mm] gegen x konvergiert, denn damit ist [mm] $x\in [/mm] M$. Da nach Voraussetzung [mm] $x\in\overline{M}$ [/mm] ist, folgt dann [mm] $M=\overline{M}$.
[/mm]
Die Konvergenz in der Norm [mm]\parallel * \parallel_M[/mm] folgt aus der Vektorraumeigenschaft von $M$: Jedes [mm] $y_n$ [/mm] lässst sich in der Basis [mm] $(x_1,\dots,x_m)$ [/mm] darstellen:
[mm] y_n = a_{n1}x_1 + \dots + a_{nm}x_m [/mm] .
Da [mm] $y_n$ [/mm] eine Cauchyfolge ist, sind die Folgen [mm] $(a_{nk})_n$ [/mm] für jedes k ebenfalls Cauchyfolgen. Daher konvergieren sie gegen reelle Zahlen [mm] $a_1,\dots,a_m$, [/mm] und der Grenzwert der Folge [mm] $y_n$ [/mm] ist $x = [mm] a_{1}x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{m}x_m [/mm] $. Da M ein Vektorraum mit Basis [mm] $(x_1,\dots,x_m)$ [/mm] ist, ist [mm]x\in M[/mm]. QED.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Sa 18.09.2010 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank für die gute Antwort. Hat mir sehr geholfen!
lg moerni
|
|
|
|
