abgeschlossene Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
In einem metrischen Raum lässt sich jede abgeschlossene Menge als Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen darstellen. |
Hallo, ich bräuchte einen Denkanstoß...
Intuitiv würde ich meinen, daß es irgendwas mit Vereinigung offener Kugeln zu tun hat..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
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> In einem metrischen Raum lässt sich jede abgeschlossene
> Menge als Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen
> darstellen.
> Hallo, ich bräuchte einen Denkanstoß...
>
> Intuitiv würde ich meinen, daß es irgendwas mit
> Vereinigung offener Kugeln zu tun hat..
Sei also (X,d) ein metr. Raum und A eine abgeschlossene Teilmenge von X.
Ist A= [mm] \emptyset, [/mm] so sind wir fertig.
Im Folgenden sei also A [mm] \ne \emptyset.
[/mm]
Für x [mm] \in [/mm] X setze $d(x,A):= inf ~ [mm] \{ d(x,a): a \in A\}$
[/mm]
Weiter setze für r>0: [mm] A_r:=\{x \in X: d(x,A)
Zeige: [mm] A_r [/mm] ist offen.
Zeige:
(*) $A= [mm] \bigcap_{r>0}^{}A_r$
[/mm]
Wie kommt man nun von (*) zu einem abzählbaren Durchschnitt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, Du gehst also über die Kugelumgebungen der ganzen Menge A und dann mit Auswahlaxiom.
Diesen Weg hatte ich auch meinem Professor vorgelegt, er meinte aber, das könne man einfacher machen.
Das hätte ich dazu schreiben müssen, entschuldige.
Er hat irgendwas gesagt von wegen: "Vereinige offene Menge" oder sowas (und ich versuche nun einen einfacheren Weg zu finden.)
Entschuldige nochmal, dass ich das erst jetzt schreibe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, Du gehst also über die Kugelumgebungen der ganzen
> Menge A und dann mit Auswahlaxiom.
>
> Diesen Weg hatte ich auch meinem Professor vorgelegt,
Zeig mal her.
> er
> meinte aber, das könne man einfacher machen.
>
>
> Das hätte ich dazu schreiben müssen, entschuldige.
>
>
> Er hat irgendwas gesagt von wegen: "Vereinige offene Menge"
> oder sowas (und ich versuche nun einen einfacheren Weg zu
> finden.)
>
Mein Weg ist einfach ! Du mußt nur zeigen, dass [mm] A_r [/mm] offen ist, dann, dass (*) gilt und dann mit (*) zu einem abzählbaren Durchschnitt kommen.
Alles kein Hexenwerk.
FRED
>
>
> Entschuldige nochmal, dass ich das erst jetzt schreibe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
So hab ich das gemacht:
(Ich lösche das später wieder, weil ich nicht möchte, dass meine Lösung hier im Internet auftaucht.)
[mm] \textbf{Beweis.} [/mm] Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und [mm] $A\subseteq [/mm] X$ eine beliebige abgeschlossene Menge. Zeige, daß $A$ der Schnitt ihrer [mm] Ballumgebungen\\
[/mm]
[mm] $\mathfrak{B}_n:=\mathfrak{B}_n\left(A,\frac{1}{n}\right)=\left\{x\in X: d(x,A)=\inf_{a\in A} d(x,a)<\frac{1}{n}\right\}, n\in\mathbb [/mm] N$ ist.
Es gilt für alle [mm] $n\in\mathbb [/mm] N$: [mm] $A\subseteq\mathfrak{B}_n$ [/mm] und somit [mm] $A\subseteq \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n$. [/mm] Zudem ist jedes [mm] $z\in \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n$ [/mm] Element in $A$, denn: Aus [mm] $z\in \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n$ [/mm] folgt [mm] $z\in \mathfrak{B}_n \forall n\in\mathbb [/mm] N$, d.h. [mm] $d(z,A)<\frac{1}{n} \forall n\in\mathbb [/mm] N$. Betrachte das Mengensystem [mm] $\mathfrak{M}=\left\{B\left(z,\frac{1}{n}\right)\cap A: n\in\mathbb N\right\}$. [/mm] Dann gibt es hierfür mit dem Auswahlaxiom eine Auswahlfunktion $f$, d.h. [mm] $\forall n\in\mathbb [/mm] N: [mm] f(n):=a_n\in \left(B\left(z,\frac{1}{n}\right)\cap A\right)$. [/mm] Dann gilt [mm] $a_n\to [/mm] z$ für [mm] $n\to\infty$. [/mm] Da $A$ abgeschlossen ist, gilt [mm] $z\in [/mm] A$. [mm] \\
[/mm]
Zeige noch, daß die Mengen aus [mm] $\mathfrak{M}$ [/mm] nicht-leere Menge sind. Angenommen, [mm] $D_n:=\left(B\left(z,\frac{1}{n}\right)\cap A\right)\in\mathfrak{M}$ [/mm] ist leer für ein beliebiges [mm] $n\in\mathbb [/mm] N$. Dann ist [mm] $d(z,A)\geq\frac{1}{n}$ [/mm] und somit [mm] $z\notin \mathfrak{B}_{n+1}$: [/mm] Widerspruch, denn [mm] $z\in\bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n$. \textit{q.e.d.}
[/mm]
Das fand der Professor zu kompliziert und hat eine Skizze an die Tafel gemalt mit Vereinigungen offener Mengen, leider erinnere ich das nicht mehr genauer.
Kann man vielleicht die Ballumgebungen weglassen und dafür irgendwie offene Kugeln um die Elemente aus A vereinigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> So hab ich das gemacht:
>
> (Ich lösche das später wieder, weil ich nicht möchte,
> dass meine Lösung hier im Internet auftaucht.)
>
> [mm]\textbf{Beweis.}[/mm] Es sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum und
> [mm]A\subseteq X[/mm] eine beliebige abgeschlossene Menge. Zeige,
> daß [mm]A[/mm] der Schnitt ihrer [mm]Ballumgebungen\\[/mm]
>
> [mm]\mathfrak{B}_n:=\mathfrak{B}_n\left(A,\frac{1}{n}\right)=\left\{x\in X: d(x,A)=\inf_{a\in A} d(x,a)<\frac{1}{n}\right\}, n\in\mathbb N[/mm]
> ist.
>
> Es gilt für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm]: [mm]A\subseteq\mathfrak{B}_n[/mm]
> und somit [mm]A\subseteq \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n[/mm].
> Zudem ist jedes [mm]z\in \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n[/mm]
> Element in [mm]A[/mm], denn: Aus [mm]z\in \bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n[/mm]
> folgt [mm]z\in \mathfrak{B}_n \forall n\in\mathbb N[/mm], d.h.
> [mm]d(z,A)<\frac{1}{n} \forall n\in\mathbb N[/mm]. Betrachte das
> Mengensystem
> [mm]\mathfrak{M}=\left\{B\left(z,\frac{1}{n}\right)\cap A: n\in\mathbb N\right\}[/mm].
> Dann gibt es hierfür mit dem Auswahlaxiom eine
> Auswahlfunktion [mm]f[/mm], d.h. [mm]\forall n\in\mathbb N: f(n):=a_n\in \left(B\left(z,\frac{1}{n}\right)\cap A\right)[/mm].
Ach so, das meintest Du mit Auswahlaxiom.
> Dann gilt [mm]a_n\to z[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]. Da [mm]A[/mm] abgeschlossen ist,
> gilt [mm]z\in A[/mm]. [mm]\\[/mm]
> Zeige noch, daß die Mengen aus [mm]\mathfrak{M}[/mm] nicht-leere
> Menge sind. Angenommen,
> [mm]D_n:=\left(B\left(z,\frac{1}{n}\right)\cap A\right)\in\mathfrak{M}[/mm]
> ist leer für ein beliebiges [mm]n\in\mathbb N[/mm]. Dann ist
> [mm]d(z,A)\geq\frac{1}{n}[/mm] und somit [mm]z\notin \mathfrak{B}_{n+1}[/mm]:
> Widerspruch, denn [mm]z\in\bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak{B}_n[/mm].
> [mm]\textit{q.e.d.}[/mm]
Prima !
>
>
> Das fand der Professor zu kompliziert und hat eine Skizze
> an die Tafel gemalt mit Vereinigungen offener Mengen,
> leider erinnere ich das nicht mehr genauer.
Im Moment fällt mir nichts einfacheres ein.
FRED
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> Kann man vielleicht die Ballumgebungen weglassen und dafür
> irgendwie offene Kugeln um die Elemente aus A vereinigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Könntest Du vielleicht das Zitat meiner Lösung aus Deinem Beitrag löschen, ich habe ein ungutes Gefühl, wenn die Lösung hier im Internet steht, denn nachher bekomme ich deswege irgendwelche Vorwürfe.
Dankesehr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Könntest Du vielleicht das Zitat meiner Lösung aus Deinem
> Beitrag löschen, ich habe ein ungutes Gefühl, wenn die
> Lösung hier im Internet steht, denn nachher bekomme ich
> deswege irgendwelche Vorwürfe.
>
Erledigt.
FRED
>
> Dankesehr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank!!
So fühl ich mich wohler.
Ich versuche noch ein bisschen, eine "einfachere" Lösung zu finden. Wie gesagt, anstelle der Ballumgebungen - habe ich mir gedacht - könnte man vielleicht auch einfach offene Kugeln vereinigen...
Aber das durchblicke ich noch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mikexx!
Ich muss mal aus Moderatorensicht sagen, dass ich diese Vorgehensweise alles andere als gut finde, dass in einem öffentlichen Forum nachträglich die Fragen und/oder Lösungen gelöscht bzw. unkenntlich gemacht werden (leider hat Fred auch diesem Wunsch entsprochen ...).
Das ist in meinen Augen auch eine Form von Egoismus. Und dass andere Leute (sei es Interessierte oder Dozenten) das im nachhinein lesen können, muss man sich vorher überlegen, wenn man derartige öffentliche Hilfe in Anspruch nimmt.
Und wie ich gerade sehe, ist das auch nicht das erste Mal bei Dir! ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]") !!
Also in Zukunft so nicht mehr!
Gruß
Loddar
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