abgeschlossene unterräume < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 24.05.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] L^{2}([0,1]) [/mm] mit der üblichen Norm, die vom Skalarprodukt [mm] =\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] induziert wird.
Zeige, dass C([0,1]) in [mm] L^{2}([0,1]) [/mm] kein abgeschlossener unterraum ist, d.h. gib eine funktion f [mm] \in L^{2}([0,1]) \backslash [/mm] C([0,1]) und eine folge [mm] (f_{n}) \in [/mm] C([0,1]) an, sodass [mm] \parallel f_{n}-f\parallel _{L^{2}} \to [/mm] 0.
|
hallo,
ich habe einfach keine ahnung wie ich mir so eine folge definieren könnte...
ich habe mir jetz mal ein f überlegt, dass in [mm] L^{2}([0,1]) [/mm] ist:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x <1/2 \\ 0, & \mbox{für } 1/2 \le x\le 1 \end{cases}
[/mm]
diese funktion ist stückweise steig und [mm] =\integral_{0}^{1}{f(x)f(x) dx}=1<\infty [/mm] ist also aus [mm] L^{2}([0,1]) \backslash [/mm] C([0,1]).
so, jetzt müsste ich mir ja ein [mm] f_{n} [/mm] überlegen dass stetig auf [0,1] ist und gegen f konvergiert, aber gerade da habe ich probleme.
wäre sehr dankbar für hilfe...
grüße simplify
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten [mm]L^{2}([0,1])[/mm] mit der üblichen Norm, die vom
> Skalarprodukt [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
> induziert wird.
> Zeige, dass C([0,1]) in [mm]L^{2}([0,1])[/mm] kein abgeschlossener
> unterraum ist, d.h. gib eine funktion f [mm]\in L^{2}([0,1]) \backslash[/mm]
> C([0,1]) und eine folge [mm](f_{n}) \in[/mm] C([0,1]) an, sodass
> [mm]\parallel f_{n}-f\parallel _{L^{2}} \to[/mm] 0.
>
> hallo,
> ich habe einfach keine ahnung wie ich mir so eine folge
> definieren könnte...
> ich habe mir jetz mal ein f überlegt, dass in
> [mm]L^{2}([0,1])[/mm] ist:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x <1/2 \\ 0, & \mbox{für } 1/2 \le x\le 1 \end{cases}[/mm]
>
> diese funktion ist stückweise steig und
> [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)f(x) dx}=1<\infty[/mm] ist also aus
> [mm]L^{2}([0,1]) \backslash[/mm] C([0,1]).
> so, jetzt müsste ich mir ja ein [mm]f_{n}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
überlegen dass
> stetig auf [0,1] ist und gegen f konvergiert, aber gerade
> da habe ich probleme.
> wäre sehr dankbar für hilfe...
> grüße simplify
definiere Deine Folge $(f_n)_{n \in \IN}$ doch so, dass Du die $f_n$ fast genauso wie $f\,$ definierst, aber "im Intervallstück $I_n:=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n}, \frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right]$" gesondert definierst.
(Vielleicht reicht es schon, dass $f_n$ in diesem Intervallstück so definiert wird, dass der Graph von $f_n$ eingeschränkt auf $I_n$ dann eine Strecke ist, die durch die Punkte $\left(0,5-1/n|1)$ und $(0,5+1/n|0)$ verläuft; das also insbesondere $f_n(0,5-1/n)=1$ und $f_n(0,5+1/n)=0$ gilt.)
Wenn Dir das gelungen ist, und Du dann $f_n \to f$ im $L^2([0,1])$-Sinne nachgerechnet hast (sofern das gelingt; ich habe es noch nicht gerechnet), dann bist Du auch eigentlich noch nicht ganz fertig.
(Aber für den Aufgabensteller scheint es dann doch bzgl. der Aufgabe damit erledigt zu sein. Aber das folgende trotzdem noch, damit Du verstehst, was ich meine:)
Denn es gilt dann zwar, dass $\|f_n-f\|_{L^2} \to 0,,$ aber eigentlich wäre nachzuweisen, dass es auch kein $g \in (C \cap L^2)([0,1]):=C[0,1] \cap L^2([0,1])$ gibt mit $\|f_n-g\|_{L^2} \to 0\,,$ bzw. anders gesagt:
Es wäre zu begründen, dass man Dein obiges $f\,$ nicht auf einer Nullmenge (die Teilmenge von $[0,1]$ ist) so abändern kann, dass diese (abgeänderte) Funktion dann stetig wird.
Zur letzten Aussage:
Wenn es doch so ein $g \in (C \cap L^2)([0,1])$ geben sollte, dann folgt insbesondere mit $\|.\|:=\|.\|_{L^2}$
$$\|f-g\| \le \|f-f_n\|+\|f_n-g\| \to 0+0=0\,,$$
d.h. $f(x)=g(x)$ für fast alle $x \in [0,1]$ (wobei letzteres hier bedeutet, dass $\{x \in [0,1]: f(x) \not=g(x)\}$ eine Lebesguesche Nullmenge ist; und nicht "alle bis auf endlich viele $x \in [0,1]$ erfüllen...").
P.S.:
Wenn es, so wie oben gedacht, mit den $f_n$ nicht klappt, dann spiel ein wenig damit rum, wie Du die $f_n$ auf $I_n$ vielleicht geeigneter definieren könntest: Anstelle der obigen Strecke ein (geeignetes) Stück des Graphen von $x \mapsto -a*x^3$ "reinkleben" oder sowas..
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> (sofern das gelingt;
> ich habe es noch nicht gerechnet),
Das funktioniert.
> Es wäre zu begründen, dass man Dein obiges [mm]f\,[/mm] nicht auf
> einer Nullmenge (die Teilmenge von [mm][0,1][/mm] ist) so abändern
> kann, dass diese (abgeänderte) Funktion dann stetig wird.
Der Grenzwert in 0,5 existiert nicht, daher kann es so eins nicht geben.
> Wenn es, so wie oben gedacht, mit den [mm]f_n[/mm] nicht klappt,
> dann spiel ein wenig damit rum, wie Du die [mm]f_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> vielleicht geeigneter definieren könntest: Anstelle der
> obigen Strecke ein (geeignetes) Stück des Graphen von [mm]x \mapsto -a*x^3[/mm]
> "reinkleben" oder sowas..
Es geht sogar glatt ...
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > (sofern das gelingt;
> > ich habe es noch nicht gerechnet),
>
> Das funktioniert.
>
> > Es wäre zu begründen, dass man Dein obiges [mm]f\,[/mm] nicht auf
> > einer Nullmenge (die Teilmenge von [mm][0,1][/mm] ist) so abändern
> > kann, dass diese (abgeänderte) Funktion dann stetig wird.
>
> Der Grenzwert in 0,5 existiert nicht, daher kann es so eins
> nicht geben.
Ich wollte damit nicht andeuten, dass die Begründung schwierig ist oder wird, sondern nur, dass die Begründung eigentlich zur Bearbeitung der ursprünglichen Aufgabenstellung (ohne Hinweis) dazugehört.
Ich glaube auch nicht, dass Deine Begründung reicht, denn [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]},$ [/mm] d.h. die auf $[0,1]$ eingeschränkte Indikatorfunktion, nimmt nur an rationalen Stellen den Wert [mm] $1\,$ [/mm] an und ist ansonsten [mm] $0\,,$ [/mm] aber [mm] $\IQ$ [/mm] ist eine Lebesguesche Nullmenge und damit ist [mm] $\|1_{\IQ \cap [0,1]}\|=0\,.$ [/mm] Und die Nullfunktion auf $[0,1]$ ist stetig, und bei [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] existiert an keiner Stelle der Grenzwert.
Ich denke, dass Du bei Dir oben irgendwo mit Intervallen (abzählbare Vereinigungen von Intervallen, wo [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist und nicht durchgehend verschwindet) argumentieren kannst. Ganz sicher bin ich mir nicht.
Eine ähnliche Aufgabe findet man übrigens in Werner, Funktionalanalysis, wenngleich auch bzgl. der [mm] $\|.\|_1$-Norm, [/mm] und die Funktionen werden auf $[0,2]$ betrachtet... Und auch dort ist die Argumentation, dass man nicht doch einen GW in $C([0,2])$ findet, nicht ganz so einfach.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Di 25.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaube auch nicht, dass Deine Begründung reicht,
Eigentlich ein Punkt fuer dich, dann mach ich es mal richtig: Sei g unsere Grenz/Treppenfunktion, f eine hypothetische stetige Funktion, so dass g=f fast ueberall, also auch in 0,5. Dann gibt es eine Folge a mit Elementen links von 0,5 auf der f=g ist (waehle ein Element in [m](a_n,0,5)[/m] passend), die gegen 0,5 konvergiert, so wie eine aehnliche Folge b mit Elementen rechts davon. Auf g sind die Werte jeweils 0 oder 1, dh [m]g(a_n)=0,g(b_n)=0[/m], was aber gleich f an der Stelle ist. Dies ergibt einen Widerspruch zur Stetigkeit von f.
> Ganz sicher bin ich mir nicht.
Danke fuer den Hinweis. Schau dir bitte obige Skiyye an, ob dir das langt.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:29 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo SEcki,
> > Ich glaube auch nicht, dass Deine Begründung reicht,
>
> Eigentlich ein Punkt fuer dich,
das ist doch kein Wettbewerb hier.
> dann mach ich es mal
> richtig: Sei g unsere Grenz/Treppenfunktion, f eine
> hypothetische stetige Funktion, so dass g=f fast ueberall,
> also auch in 0,5. Dann gibt es eine Folge a mit Elementen
> links von 0,5 auf der f=g ist (waehle ein Element in
> [m](a_n,0,5)[/m] passend), die gegen 0,5 konvergiert, so wie eine
> aehnliche Folge b mit Elementen rechts davon. Auf g sind
> die Werte jeweils 0 oder 1, dh [m]g(a_n)=0,g(b_n)=0[/m], was aber
> gleich f an der Stelle ist. Dies ergibt einen Widerspruch
> zur Stetigkeit von f.
>
> > Ganz sicher bin ich mir nicht.
Ehrlich gesagt erschließt sich mir etwas bei Deiner Überlegung nicht: Wieso gilt nun [mm] $g(a_n)=g(b_n)=0$?
[/mm]
Aber ich glaube, ich versteh' Deine Überlegung:
Also weil $g=f$ im [mm] $L^2([0,1])$-Sinne, [/mm] gilt $g(x)=f(x)$ mit Ausnahme einer Lebesgueschen Nullmenge auf $[0,1]$. Das ist klar.
Dann gilt sicherlich, dass es [mm] $a_n$ [/mm] links von $0,5$ gibt mit [mm] $f(a_n)=1=g(a_n)$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] rechts von $0,5$ mit [mm] $f(b_n)=g(b_n)=0$ [/mm] und [mm] $a_n \to [/mm] 0,5, [mm] b_n \to 0,5\,.$
[/mm]
Dann hat aber der rechtsseitige GW von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $0,5$ den Wert [mm] $1\,,$ [/mm] welcher nicht mit dem linksseitigen GW [mm] $0\,$ [/mm] übereinstimmt. Damit ist dann [mm] $f\,$ [/mm] an $0,5$ unstetig und damit auch unstetig (auf $[0,1]$).
Das klingt plausibel. Und ein kleiner Test, ob man diese Argumentation nicht auch auf [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] übertragen könnte (das heißt, ob Dein Beweis nicht auch zeigen würde, dass es für diese keine im [mm] $L^2$-Sinne [/mm] gleiche, aber stetige Funktion gäbe):
Wir nennen diese stetige Funktion mal [mm] $N\,.$ [/mm] Betrachtet man irgendeine Stelle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$, so weiß man zwar, dass es eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] in $[0,x)$ gibt, die gegen $x$ konvergiert mit [mm] $N(x_n)=1_{\IQ \cap [0,1]}(x_n)$, [/mm] aber wir erhalten hier keineswegs, dass [mm] $N(x_n)=1$ [/mm] für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] ist. Denn [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] läßt auf jedem Intervall $(r,x]$ ($0 [mm] \le [/mm] r < x$) stets [mm] $2\,$ [/mm] Funktionswerte zu.
Also immerhin kann man sich jedenfalls nicht mit einem solch einfachen Beispiel klar machen, dass Deine Argumentation falsch wäre. Und ehrlich gesagt sehe ich auch wirklich keinen Fehler in Deiner Überlegung (jedenfalls in der Fassung, wie ich sie korrigiert dargelegt habe - aber ich bin mir ziemlich sicher, dass Du das auch so gemeint hast und [mm] $g(a_n)=g(b_n)=0$ [/mm] ein Verschreiber war, oder?)
Also grob gesagt:
Das wesentliche bei Deiner Überlegung ist eigentlich, dass man bzgl. der "evtl. doch existierenden stetigen Grenzfunktion" bei Wahl entsprechender Folgen keine "große Auswahl" hat, wie die zu den Folgegliedern zugehörigen Funktionswerte dieser "möglichen stetigen Grenzfunktion" aussehen.
Bei [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] kann nämlich [mm] $N(x_n)=1$, [/mm] aber durchaus auch [mm] $0\,$ [/mm] sein. Deswegen läßt sich das nicht einfach übertragen, so dass man einen "falschen Beweis konstruieren könnte, um zu zeigen, dass zu [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] keine stetige [mm] $L^2([0,1])$-Funktion [/mm] existiert, die fast überall mit [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] übereinstimmt".
Diese Analyse ist mir aus zwei Gründen wichtig:
1.) Dadurch erkennt man, wo bei Deiner Argumentation eigentlich ein Schwerpunkt liegt.
2.) Hätte man sie benutzen können, um eine falsche Behauptung zu beweisen, so müßte in Deiner Argumentation irgendwo ein Fehler sein.
Dass man mit Deiner Argumentation keinen Unsinn beweisen kann, heißt zwar nicht, dass sie keine Fehler enthalten könnte. Aber ich hab's nun mehrmals durchdacht und finde jedenfalls (momentan) keinen. Es scheint mir alles hieb- und stichfest zu sein!
> Danke fuer den Hinweis. Schau dir bitte obige Skiyye an, ob
> dir das langt.
Joa, ich denke, dass Deine Überlegungen vernünftig sind und Du das gut ergänzt hast.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 25.05.2010 | | Autor: | simplify |
Vielen dank erstmal für die ausgiebige antwort.
also alles ist mir noch nicht ganz klar...
wenn ich mir die funktion vorstelle,dann hab ich ja eine treppenfunktion im kopf. für dieses intervall soll sie eine strecke sein,die müsste ja dann quasi von oben nach unten gehen(halt eine richtige treppe).
mir ist leider nicht ganz klar wie ich diesen kleinen abschnitt definieren kann bzw. wie dieser konkret anzugeben ist.
würde mich über eine kleine erläuterung riesig freuen.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen dank erstmal für die ausgiebige antwort.
> also alles ist mir noch nicht ganz klar...
> wenn ich mir die funktion vorstelle,dann hab ich ja eine
> treppenfunktion im kopf. für dieses intervall soll sie
> eine strecke sein,die müsste ja dann quasi von oben nach
> unten gehen(halt eine richtige treppe).
> mir ist leider nicht ganz klar wie ich diesen kleinen
> abschnitt definieren kann bzw. wie dieser konkret anzugeben
> ist.
> würde mich über eine kleine erläuterung riesig freuen.
naja, es gilt [mm] $f_n(x)=1\,$ [/mm] auf $[0; 0,5-1/n]$ und [mm] $f_n(x)=0\,$ [/mm] auf [mm] $[0,5+1/n;1]\,.$ [/mm]
Auf $(0,5-1/n;0,5+1/n)$ soll der Graph von [mm] $f_n$ [/mm] doch so aussehen, dass da eine "passende Strecke reingeklebt" wird.
Mit anderen Worten:
Auf $(0,5-1/n;0,5+1/n)$ soll [mm] $f_n$ [/mm] durch eine Geradengleichung beschrieben werden:
[mm] $$f_n(x)=a*x+b\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $a\,$ [/mm] die Steigung und [mm] $b\,$ [/mm] der $y-$Achsenabschnitt ist.
Diese Geradengleichung kannst Du nun aufstellen, denn weil [mm] $f_n$ [/mm] ja stetig sein soll, muss auch
[mm] $$\lim_{\substack{x \to 0,5-1/n\\ x > 0,5-1/n}}f_n(x)=f_n(0,5-1/n)=1$$ [/mm]
und
[mm] $$\lim_{\substack{x \to 0,5+1/n\\ x < 0,5+1/n}}f_n(x)=f_n(0,5+1/n)=0$$ [/mm] sein, was Dir die Bedingungen
$$a*(0,5-1/n)+b=1$$
und
$$a*(0,5+1/n)+b=0$$
liefert, woraus Du [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] errechnen kannst. Beachte dabei, dass [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] hier von [mm] $n\,$ [/mm] abhängig sein dürfen!
Am Ende solltest Du dann da stehen haben:
[mm] $$f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x \le 0,5-1/n \\ a*x+b, & \mbox{für } 0,5-1/n \le x \le 0,5+1/n \\ 0, & \mbox{für }0,5+1/n \le x \le 1 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Überlege Dir auch, dass unsere Vorgehensweise es bspw. erlaubt, dass wir oben die [mm] $f_n$ [/mm] durch die Fälle $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,5-1/n$ und $0,5-1/n [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,5+1/n$ etc. beschreiben dürfen. Denn oben könnte es ja ansonsten theoretisch passieren, dass [mm] $f_n(0,5-1/n)$ [/mm] gar nicht wohldefiniert wäre.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:30 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Dies bitte erst lesen, wenn Du es selbst nachgerechnet hast!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ich erhalte
[mm] $$a=-\frac{n}{2} \text{ und }b=\frac{n+2}{4}\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
