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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 02.11.2004 | | Autor: | FLy |
Sei f: R-> R stetig und seien a,b: R->R differenzierbar
Bestimmen Sie due Ableitung der Funktion g: R --> R mit
G(x)= [mm] \integral_{a(x)}^{b(x)} [/mm] {f(t) dt}
was muss ich da tun habe keine ahnung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 02.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fly,
> Sei f: R-> R stetig und seien a,b: R->R differenzierbar
>
> Bestimmen Sie due Ableitung der Funktion g: R --> R mit
>
> G(x)= [mm]\integral_{a(x)}^{b(x)}[/mm] {f(t) dt}
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> was muss ich da tun habe keine ahnung
Da $f$ stetig ist, existiert nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Abkürzung: HDI) (siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Analysis-Skript, Satz 17.13 auf S.164 (skriptinterne Zählung oben rechts)) eine Stammfunktion $F$ zu $f$.
Sei nun [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}x_0$, $x_n \not= x_0$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$. [/mm]
Dann gilt (beachte den HDI!) [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[m]\frac{G(x_n)-G(x_0)}{x_n-x_0}[/m]
[m]=\frac{F(b(x_n))-F(a(x_n))-[F(b(x_0))-F(a(x_0))]}{x_n-x_0}[/m]
[m]=\frac{F(b(x_n))-F(b(x_0))-[F(a(x_n))-F(a(x_0))]}{x_n-x_0}[/m]
[m]=\underbrace{\frac{F(b(x_n))-F(b(x_0))}{x_n-x_0}}_{r(n):=}-\underbrace{\frac{F(a(x_n))-F(a(x_0))}{x_n-x_0}}_{s(n):=}[/m]
Nun existiert aber [mm] $\lim_{n \to \infty}{r(n)}$, [/mm] denn:
$F$ ist diff'bar, also insbesondere diff'bar in [mm] $b(x_0)$. [/mm] Nach Voraussetzung ist auch $b$ diff'bar, also insbesondere diff'bar in [mm] $x_0$.
[/mm]
Deswegen gilt nach der Kettenregel und da $F'=f$:
[m]f(b(x_0))*b'(x_0)[/m]
[m]=F'(b(x_0))*b'(x_0)[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{F(b(x_n))-F(b(x_0))}{x_n-x_0}\right)[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty}{r(n)}[/m]
Ganz analog dazu zeigt man:
Es existiert [mm] $\lim_{n \to \infty}{s(n)}$ [/mm] und es gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty}{s(n)}=f(a(x_0))*a'(x_0)$
[/mm]
Daher folgt:
$G$ ist diff'bar in [mm] $x_0$ [/mm] und es gilt:
[m]G'(x_0)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{G(x_n)-G(x_0)}{x_n-x_0}\right)[/m]
[m]=\lim_{n \to \infty}r(n)-\lim_{n \to \infty}s(n)[/m]
[m]=f(b(x_0))*b'(x_0)-f(a(x_0))*a'(x_0)[/m].
Da [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig war, folgt:
$G$ ist diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] und es gilt:
$G'(x)=f(b(x))*b'(x)-f(a(x))*a'(x)$ [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$)
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fly,
ich weiß gar nicht, warum ich das so kompliziert mit dem Differenzquotienten gerechnet habe.
Ganz einfach geht es natürlich so:
Nach Voraussetzungen ist der HDI und die Kettenregel anwendbar, genauer siehst du das gleich:
1.) Nach dem HDI gilt (wie in dem anderen Thread sei $F$ eine Stammfunktion zu $f$; existiert, da $f$ stetig):
$G(x)=F(b(x))-F(a(x))$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$, [/mm]
und damit erhält man:
2.) $G$ ist diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] [weil [m]\underbrace{F(b)}_{=F \circ b}[/m] und [mm] $\underbrace{F(a)}_{=F \circ a}$ [/mm] diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] sind (wegen Kettenregel, die anwendbar ist, da $a_$ bzw. $b$ diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] sind nach Voraussetzungen und da $F$ diff'bar ist wegen dem HDI) und deswegen auch $F(b)-F(a)$ diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] ist] und es gilt:
$G'(x)=F'(b(x))*b'(x)-F'(a(x))*a'(x)=f(b(x))*b'(x)-f(a(x))*a'(x)$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$
[/mm]
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , das war wohl schon zu spät heute Nacht. Es lag vielleicht auch daran, dass ich vorher bei einem Artikel in der Mathebank den Beweis zu Quotientenregel hingeschrieben habe, und wohl deshalb hier automatisch den Diff'quotienten benutzen wollte, was ich natürlich gar nicht brauche.
Viele Grüße,
Marcel
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