ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Do 23.06.2011 | | Autor: | Jules-20 |
ermitteln sie alle a element R, für die Funktion
f a(x) = [mm] |x|^a [/mm] sin1/x x ungleich 0
0 x = 0
differenzierbar ist. geben sie die Ableitung an.
Für welche dieser Zahlen a ist f´a stetig?
leider steh ich grad total aufm schlauch und hab nich so den plan was ich machen muss!! muss ich mir die grenzwerte anschauen oder...bitte gebt mir nen tipp!
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Hallo Jules-20,
auch dir ein freundliches "Hallo" !!
War gar nicht schwer ... auch ein "Tschüss" bekomme ich vllt. hin ...
> ermitteln sie alle a element R, für die Funktion
>
> f a(x) = [mm]|x|^a[/mm] sin1/x x ungleich 0
> 0 x = 0
>
> differenzierbar ist. geben sie die Ableitung an.
> Für welche dieser Zahlen a ist f´a stetig?
>
> leider steh ich grad total aufm schlauch und hab nich so
> den plan was ich machen muss!! muss ich mir die grenzwerte
> anschauen oder...bitte gebt mir nen tipp!
Nun, kritisch ist es wohl allein an der Stelle [mm]x=0[/mm]
Schaue dir dort den Differenzenquotienten in Abh. von a an und schaue, für welche [mm]a\in\IR[/mm] der GW desselben existiert:
[mm]\lim\limits_{h\to 0, h\neq 0}\frac{f_a(0+h)-f_a(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0, h\neq 0}\frac{|h|^{a}\cdot{}\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h}[/mm]
Hier setze mal an ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 23.06.2011 | | Autor: | Jules-20 |
hi ;)
super danke für deine schnelle antwort ich probiers gleich mal
:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Do 23.06.2011 | | Autor: | Jules-20 |
hihi
kann ich hierbei sin|1/h| vernachlässigen? weil es eh gegen null laufen würde? und dann den ln anwenden? somit hätte ich dann ja a ln |h|- ln(h) und da dürte a doch alles außer 1 sein?
oder bin ich am holzweg?
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin(1/h) läuft keineswegs gegen 0 setz mal für [mm] h_k=1/(k*\pi) [/mm] ein oder
[mm] h_k=2/(k*\pi) [/mm] ein.
wie du den ln anwenden willst versteh ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 23.06.2011 | | Autor: | Jules-20 |
hm naja okay, aber iwie muss ich doch das a bei [mm] |h|^a [/mm] wegbekommen oder nich?...
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Hallo nochmal,
> hm naja okay, aber iwie muss ich doch das a bei [mm]|h|^a[/mm]
> wegbekommen oder nich?...
Eine Idee:
Betrachte die ganze Sache im Betrag und nutze das Sandwichlemma:
[mm]0\le\left|\frac{|h|^{a}\cdot{}\sin\left(1/h\right)}{h}\right|=|h|^{a-1}\cdot{}|\sin(1/h)|\le |h|^{a-1}\cdot{}1=|h|^{a-1}[/mm]
Für welche [mm]a\in \IR[/mm] konvergiert das rechterhand gegen 0 für [mm]h\to 0[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Do 23.06.2011 | | Autor: | Jules-20 |
hm dann würd ich sagen für alle a die größer als 1 sind, weil wenn ich für a 1 einsetzte hab ich [mm] |h|^0 [/mm] und da würde ich immer 1 rausbekommen und somit würde es nich gegen 0 konvergieren...
stimmt das?
super danke
gruß jule
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Hallo nochmal,
> hm dann würd ich sagen für alle a die größer als 1
> sind, weil wenn ich für a 1 einsetzte hab ich [mm]|h|^0[/mm] und da
> würde ich immer 1 rausbekommen und somit würde es nich
> gegen 0 konvergieren...
> stimmt das? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, für $a>1$ haben wir Konvergenz des Diffquotienten gem. Sandwichlemma!
Für [mm] $a\le [/mm] 1$ stimmt die Abschätzung im Sandwichlemma auch, aber es liefert doch keine gute Aussage, weil die linke Seite gegen 0 geht (konstant 0), die rechte Seite aber gegen 1 (für $a=1$) bzw. gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert (für $a<1$)
Sollte man also zu [mm] $a\le [/mm] 1$ nicht noch was überlegen?
>
> super danke
> gruß jule
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 23.06.2011 | | Autor: | Jules-20 |
hi,
also bis dahin versteh ich alles, aber leider nich ganz worauf du hinauswillst?! tut mir leid wir haben das thema grad erst neu angefangen :(
gruß jule
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für a>1 bist du fertig, wel der GW rechts 0 ist. Wenn er nicht Null ist sagt die Ungelichun ja nur dass er <1 ist oder < unendlich, auch 0<1 und 0< unendlich.
D. h. a=1 und a<1 musst du noch auf anderem weg untersuchen.
gruss leduart
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