ableitung 1/cos²(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 So 13.02.2005 | | Autor: | bob |
hallo,
habe ein problem bei einer ableitung.
die gleichung f(x)=ln(cos(x)) soll bis zur
4ten Ordnung entwickelt werden.
die allgemeine form der talyor-reihe ist bekannt. allerdings bin ich bei der
3.ableitung der funktion ins stocken geraten.
f'(x)=-sin(x)/cos(x)=-tan(x)
f''(x)=-1/cos²(x)
wenn ich hier weiter ableite unter verwendung der quotientenregel komme
ich auf die funktion
f'''(x)=2sin(x)cos(x)/(cos²(x))²
als überlegung hatte ich hier
die kürzung eines cos(x) oder die umwandlung des terms 2sin(x)cos(x) (additionstheorem) in sin(2x). bitte um weitere vereinfachung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 13.02.2005 | | Autor: | Max |
Du kannst ja zumindest einmal [mm] $\cos(x)$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ kürzen. Wenn du unbedingt willst kannst du noch [mm] $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)$ [/mm] ersetzen.
[mm] $f'''(x)=\frac{sin(x)\cos(x)}{\cos^4(x)}=\frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}=\sec^2(x)\tan(x)$
[/mm]
Allerdings ist das wohl kaum nötig, ich würde mit dem zweiten Term arbeiten. Mal als Kontrolle, ich erhalte für [mm] $f^{(4)}$
[/mm]
[mm] $f^{(4)}(x)=-\frac{4\sin^2(x)+2}{cos^4(x)}$.
[/mm]
Wenn du noch den Entwicklungspunkt [mm] $x_0$ [/mm] mitteilst kann ich auch gerne mal dein Endergebniss kontrollieren (habe jetzt eh die Aleitungen  ).
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 13.02.2005 | | Autor: | bob |
es ist kein entwicklungspunkt angegben. man soll damit das integral
[mm]\integral_{-1/2}^{1/2} {f(x) dx}[/mm] abschätzen. (Mac Laurin?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 13.02.2005 | | Autor: | bob |
danke nochmal für deine hilfe
f(x)=f(0)+f'(x0)*(x-x0)/1! + f''(x0)*(x-xo)²/2! + f'''(x0)*(x-x0)³/3! + [mm] f''''(xo)*(x-xo)^4
[/mm]
damit würde folgen:
[mm] 0+0+x²/2!+0+2x^4/4!
[/mm]
mein vorschlag für das taylor-polynom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 So 13.02.2005 | | Autor: | Max |
Da ja [mm] $\left|\cos(x)\right|<1$ [/mm] ist $f$ mit Sicherheit in dem Bereich [mm] $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$ [/mm] negativ. Wenn du nochmal $f''(0)$ und [mm] $f^{(4)}(0)$ [/mm] überprüfst wirst du wohl andere Vorzeichen bekommen, so dass
$f(x) [mm] \approx -\frac{x}{2}-\frac{x^4}{12}$.
[/mm]
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 So 13.02.2005 | | Autor: | bob |
ja, hab die vorzeichen vernachlässigt!
[mm] \integral_{-1/2}^{1/2} [/mm] {f(x) [mm] dx}(-x²/2)-(x^4/12)
[/mm]
also:
[mm] [-1/3x³-1/60x^5]-[-1/3x³-1/60x^5] [/mm] in den Grenzen -1/2 bis 1/2
[mm] [-1/3(0,2)³-1/60(0,2)^5]-[-1/3(-0,2)³-1/60(-0,2)^5]
[/mm]
= [-0,00134]-[-0,00134] = -0,00268
bitte um miteilung
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