(absolute) Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Do 14.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Untersuche die folge Reihe auf (aboslute) Konvergenz/Divergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{cos(n)}{n^{5}} [/mm] |
Hi,
es soll also auf Kovergenz geprüft werden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{cos(n)}{n^{5}}
[/mm]
Jetzt dachte ich mir, dass ist ja sowas ähnliches wie eine alternierenden Reihe, da ja [mm] -1\le cos(n)\le1
[/mm]
Dann würde ja vllt das Leibnitzkriterium passen:
1.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}cos(n)*b_{n} [/mm] mit [mm] b_{n}=\bruch{1}{n^{5}}
[/mm]
2.
[mm] b_{n+1}=\bruch{1}{(n+1)^5}\le b_{n}
[/mm]
3.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{5}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz
Darf ich das bis hierhin so machen?
Und wie geht es jetzt weiter, ich muss ja noch auf abolute Konvergenz prüfen, also muss ich ja schauen ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|\bruch{cos(n)}{n^{5}}| [/mm] auch kovergiert.
Wie mache ist das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche die folge Reihe auf (aboslute)
> Konvergenz/Divergenz:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{cos(n)}{n^{5}}[/mm]
> Hi,
> es soll also auf Kovergenz geprüft werden:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{cos(n)}{n^{5}}[/mm]
> Jetzt dachte ich mir, dass ist ja sowas ähnliches wie eine
> alternierenden Reihe, da ja [mm]-1\le cos(n)\le1[/mm]
> Dann würde ja
> vllt das Leibnitzkriterium passen:
> 1.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}cos(n)*b_{n}[/mm] mit
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{n^{5}}[/mm]
> 2.
> [mm]b_{n+1}=\bruch{1}{(n+1)^5}\le b_{n}[/mm]
> 3.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{5}}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenz
> Darf ich das bis hierhin so machen?
Nein ! Denn cos(n) [mm] \not= (-1)^n
[/mm]
> Und wie geht es jetzt weiter, ich muss ja noch auf abolute
> Konvergenz prüfen, also muss ich ja schauen ob
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|\bruch{cos(n)}{n^{5}}|[/mm] auch
> kovergiert.
> Wie mache ist das?
>
Es ist
[mm] $|\bruch{cos(n)}{n^{5}}| \le \bruch{1}{n^{5}} \le \bruch{1}{n^{2}}$ [/mm]
Jetzt Majorantenkrit.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Do 14.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ah, ok, Danke schonmal.
Aber um das Majorantenkriterium anwenden zu können müsste ich ja wissen, dass [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] konvergiert, tuhe ich aber leider nicht?
wir haben bei uns im Skript nur die geomatrische Reihe und die harmonische Reihe drinstehn über alle anderen weiß ich nix.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ah, ok, Danke schonmal.
> Aber um das Majorantenkriterium anwenden zu können müsste
> ich ja wissen, dass [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] konvergiert,
Du meinst hoffentlich, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n²} [/mm] konvergiert
> tuhe ich
> aber leider nicht?
> wir haben bei uns im Skript nur die geomatrische Reihe und
> die harmonische Reihe drinstehn über alle anderen weiß ich
> nix.
Das kann ich kaum glauben, denn weder mit der harmonischen noch mit der geometrischen Reihe kann man bei obiger Aufgabe etwas anfangen. Ich sehe nicht, wie man ohne Majorantenkriterium zu Ziel kommen solte.
Quotienten- und Wurzelkriterium versgen ebenfalls.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 14.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ok, vielen Dank schonmal soweit. Ich werde abklären, ob ich das Majoritätskriterim hier mit 1/x² anwenden darf oder nicht.
Jedoch habe ich noch ein Problem:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n+ln(n+1)}
[/mm]
Hier habe ich mal Leibnitzkriterium gemacht:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n+ln(n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*bn [/mm] mit [mm] bn=\bruch{(1)}{n+ln(n+1)}
[/mm]
bn>0 ; bn+1<bn ; [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}bn=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz
Jetzt muss ich ja aber auch noch nach absoluter Konvergenz prüfen:
also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|\bruch{(-1)^{n}}{n+ln(n+1)}|=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+ln(n+1)}
[/mm]
Hier komme ich alledings nicht weiter, habs mal mit Quotientenkriterium probiert, aber war irgendwie glaub ich nix.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Fr 15.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+ln(n+1)}
[/mm]
ist divergent:
Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(n+1)}{n}= [/mm] 0, gibt es ein N in [mm] \IN [/mm] mit
$0 [mm] \le \bruch{ln(n+1)}{n} \le [/mm] 1$ für n>N .
Also
$ln(n+1) +n [mm] \le [/mm] 2n$ für n>N .
Somit:
[mm] $\bruch{1}{ln(n+1)+n} \ge \bruch{1}{2n}$ [/mm] für n > N.
Jetzt Minorantenkriterium
FRED
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