abstand punkt zu gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 13.08.2008 | | Autor: | abi09-.- |
| Aufgabe | auf dem frankfurter flughafen startet ein flugzeug. auf dem foto scheint es den wolkenkratzern nahe zu kommen. bezogen auf ein örtliches koordinatensystem mit der einheit km hat die antennenspitze des höchsten bürohauses die koordinaten B (10,5 / 8 / 0.5). im steilflug befindet sich das flugzeug auf der geraden zu [mm] \overrightarrow{0X} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] mal [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}. [/mm] berechne die minimale entfernung des flugzeugs von der antennenspitze dieses hochhauses.
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so... mein problem ist ich hab wahrscheinlich ein falsches ergebnis für lambda raus...
ich hab erst mal einen punkt Q benannt auf der geraden die das flugzueg da fliegt.
dann Q [mm] \in [/mm] x
und hab gesagt das [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] der vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ist
dann:
[mm] \overrightarrow{QB} [/mm] = [mm] \vektor{10,5 \\ 8 \\ 0,5} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] mal [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{8,5 \\ 8 \\ 0,5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
so dann hab ich gesagt:
[mm] \overrightarrow{QB} \* \overrightarrow{AC} [/mm] = 0
[mm] [\vektor{8,5 \\ 8 \\ 0,5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ 2 \\ 1}] \* \vektor{3 \\ 2 \\ 1}] [/mm] = 0
42 + 15 [mm] \lambda [/mm] = 0
das kann net sein...
bräuchte irgendwie hilfe
der ansatz ist sicher schon falsch
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Kannst du deine Rechenschritte ein wenig begründen?
Vllt. fallen dir beim drüber nachdenken ein paar kleine Haken auf ;9
Sonst wären meine persönliche Vorschläge zum Lösen der Aufgabe:
1) Mache daraus eine Extremwertaufgabe (falls du das schonmal gemacht hast, sonst mach lieber 2) )
2) Nimm den Richtungsvektor der Gerade (Fluggerade Flugzeug) als Normalenvektor einer Ebene. Der Aufpunkt (Stützvektor) der Ebene sei der Punkt B der Antennenspitze.
Schneide nun diese Ebene mit der Flugbahn; berechne den Abstand vom Schnittpunkt zu B und erhalte so den minimalen Abstand.
Mit freundlichen Grüßen
Marco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 13.08.2008 | | Autor: | abi09-.- |
also danke erstmal
das problem besteht darin, dass wir noch keine ebenen gemacht haben...
extremwertaufgaben ja, aber so sollen wir das net lösen
ich habe das nach dem lotfußpunktverfahren machen wollen xD
wenn das einem was sagt...
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> also danke erstmal
> das problem besteht darin, dass wir noch keine ebenen
> gemacht haben...
> extremwertaufgaben ja, aber so sollen wir das net lösen
> ich habe das nach dem lotfußpunktverfahren machen wollen
> xD
> wenn das einem was sagt...
Ja gut, das geht auch: Sei also $X$ gerade derjenige Punkt der Flugbahn, der sich am nächsten bei der Antennenspitze befindet. Dies ist gerade der Fusspunkt des Lotes von der Antennenspitze $B$ auf die Flugbahn. Es muss also gelten, dass [mm] $\vec{BX}\perp \vec{v}$, [/mm] wobei [mm] $\vec{v}$ [/mm] Richtungsvektor der Flugbahn. Diese Bedingung kann man natürlich mit dem Skalarprodukt ausdrücken:
[mm]\left(\pmat{2\\0\\0}+\lambda \pmat{2\\3\\1}-\pmat{10.5\\8\\0.5}\right)\cdot \pmat{3\\2\\1}=0[/mm]
Ausmultipliziert ist dies eine lineare Gleichung für [mm] $\lambda$. [/mm] Kennst Du [mm] $\lambda$, [/mm] so kannst Du die gesuchte minimale Distanz [mm] $d_{\text{min}}$ [/mm] von Flugzeug und Antennentspitze so berechnen:
[mm]d_{\text{min}}=|\vec{BX}|=\left|\pmat{2\\0\\0}+\lambda \pmat{2\\3\\1}-\pmat{10.5\\8\\0.5}\right|[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 13.08.2008 | | Autor: | abi09-.- |
ist das dann nicht so wie ich das gemacht hab?
nur das ich den punkt Q genannat hab?
das verwirrt mich irgendwie^^
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> ist das dann nicht so wie ich das gemacht hab?
> nur das ich den punkt Q genannat hab?
> das verwirrt mich irgendwie^^
Ah, stimmt: ich sehe, dass Du von der Idee her dasselbe gemacht hast. Nur hast Du schon bei der Berechnung von [mm] $\vec{QB}$ [/mm] was falsch gemacht. Es ist
[mm]\vec{QB}=\vec{OB}-\vec{OQ}=\pmat{10.5\\8\\0.5}-\left(\pmat{2\\0\\0}+\lambda \pmat{3\\2\\1}\right)=\pmat{8.5\\8\\0.5}\red{-}\lambda\pmat{3\\2\\1}[/mm]
Beachte die hier rot markierte Subtraktion: bei Dir steht an dieser Stelle eine Addition: also Vorzeichenfehler. Den Rest Deiner Lösung habe ich deshalb nicht angeschaut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mi 13.08.2008 | | Autor: | abi09-.- |
dankeschön... ist mal wieder ein dummer fehler wohl^^
dann hab ichs verstanden xD
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