abweichter Winkel zw. Vektoren < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:06 Mi 19.08.2015 | | Autor: | senmeis |
Servus,
die Richtung eines Vektors im 3D Raum kann durch den Winkeln zwischen dem Vektor und der X-Achse (Alpha1) und der Y-Achse (Beta1) beschrieben werden. Der Winkel zwischen dem Vektor und der Z-Achse wird mit diesen beiden Winkeln automatisch festgelegt.
Nun kommt mein Problem. Ein weiterer Vektor (Alpha2, Beta2) weist eine Abweichung von Vektor1 auf. Bekannt sind
|Alpha2 – Alpha1| <= a und |Beta2 – Beta1| <= b.
Kann man sicher behaupten, die maximale Abweichung zwischen den beiden Vektoren findet bei Alpha2 = Alpha1 [mm] \pm [/mm] a und Beta2 = Beta1 [mm] \pm [/mm] b statt?
Owen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mi 19.08.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Servus,
>
> die Richtung eines Vektors im 3D Raum kann durch den
> Winkeln zwischen dem Vektor und der X-Achse (Alpha1) und
> der Y-Achse (Beta1) beschrieben werden. Der Winkel zwischen
> dem Vektor und der Z-Achse wird mit diesen beiden Winkeln
> automatisch festgelegt.
Kennst du dafür die Berechnung?
>
> Nun kommt mein Problem. Ein weiterer Vektor (Alpha2, Beta2)
> weist eine Abweichung von Vektor1 auf. Bekannt sind
>
> |Alpha2 – Alpha1| <= a und |Beta2 – Beta1| <= b.
Falls du die Berechnungsformel kennst, ist das ganze hier eine Sache für die Fehlerrechnung/Fehlerfortpflanzung, schau dir dazu mal ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript an.
>
> Kann man sicher behaupten, die maximale Abweichung zwischen
> den beiden Vektoren findet bei Alpha2 = Alpha1 [mm]\pm[/mm] a und
> Beta2 = Beta1 [mm]\pm[/mm] b statt?
Ohne weiteres nicht, das ist vermutlich mit der Fehlerfortpflanzung zu bestimmen.
>
> Owen
>
Marius
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> Servus,
>
> die Richtung eines Vektors im 3D Raum kann durch die
> Winkel zwischen dem Vektor und der X-Achse (Alpha1) und
> der Y-Achse (Beta1) beschrieben werden. Der Winkel zwischen
> dem Vektor und der Z-Achse wird mit diesen beiden Winkeln
> automatisch festgelegt.
Hallo Owen,
das stimmt so nicht vollumfänglich. In der üblichen
Betrachtungsweise kommen im allgemeinen jeweils
2 Winkel in Frage, nämlich ein Winkel Gamma1 und der
Nebenwinkel 180°-Gamma1 .
Falls du aber anstatt die Winkel zwischen einem
Vektor und den 3 gerichteten Achsen (-vektoren)
die Winkel zwischen einer Geraden und den (ebenfalls
nur als Geraden betrachteten) Koordinatenachsen
betrachtest und dabei nur Winkel ≤ 90° zulässt,
so hast du die gewünschte Eindeutigkeit.
LG , Al-Chwarizmi
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> Die Richtung eines Vektors im 3D Raum kann durch die
> Winkel zwischen dem Vektor und der X-Achse (Alpha1) und
> der Y-Achse (Beta1) beschrieben werden. Der Winkel zwischen
> dem Vektor und der Z-Achse wird mit diesen beiden Winkeln
> automatisch festgelegt.
(siehe dazu meine erste Antwort !)
> Nun kommt mein Problem. Ein weiterer Vektor (Alpha2, Beta2)
> weist eine Abweichung von Vektor1 auf. Bekannt sind
>
> |Alpha2 – Alpha1| <= a und |Beta2 – Beta1| <= b.
>
> Kann man sicher behaupten, die maximale Abweichung zwischen
> den beiden Vektoren findet bei Alpha2 = Alpha1 [mm]\pm[/mm] a und
> Beta2 = Beta1 [mm]\pm[/mm] b statt? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich verstehe nicht, was du da genau meinst. Maximale Abweichung
zwischen den beiden Vektoren wäre sowas wie
$\ [mm] |\vec v_1\ [/mm] -\ [mm] \vec v_2|$ [/mm]
Darüber kann man nichts sagen ohne zusätzliche Angaben etwa
über die Beträge der Vektoren.
Vermutlich möchtest du wissen, ob die Abweichung des
Winkels Gamma (zur z-Achse) am größten wird, falls auch die
Abweichungen bei Alpha und Beta ihre maximalen (oder minimalen)
Werte annehmen.
Interpretiere ich das richtig ?
Wie Marius schon gesagt hat, solltest du dich dann um die
rechnerische Bestimmung von Gamma kümmern.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Fr 21.08.2015 | | Autor: | senmeis |
Ich habe den Winkel zw. den beiden Vektoren gemeint. Wenn sich Vektor2 in zwei Richtungen gleichzeitig bewegt, erreicht dieser Winkel irgendwann das Maximum. Vielleicht kann ich Fehlerfortpflanzung verwenden, aber die Voraussetzung ist, dieser Winkel muss analytisch angegeben werden und das ist überkompliziert.
Owen
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> Ich habe den Winkel zw. den beiden Vektoren gemeint. Wenn
> sich Vektor2 in zwei Richtungen gleichzeitig bewegt,
> erreicht dieser Winkel irgendwann das Maximum. Vielleicht
> kann ich Fehlerfortpflanzung verwenden, aber die
> Voraussetzung ist, dieser Winkel muss analytisch angegeben
> werden und das ist überkompliziert.
>
> Owen
Aha
Zuerst war ich der Meinung, dass es dir um den Winkel zwischen
Vektor und z-Achse ging.
So versuche ich nun eine neue Interpretation:
Du hast einen Vektor [mm] $\vec{v}_1$ [/mm] , (es kann zum Beispiel ein
Einheitsvektor mit $\ [mm] |\vec{v}_1|\ [/mm] =\ 1$ sein), der zum
Beispiel (erster einfacher Fall zum Anfangen) in den ersten
Oktanten zeigt. Dies würde bedeuten, dass alle 3 Komponenten
von [mm] $\vec{v}_1$ [/mm] positiv sein sollen.
Die Richtung von [mm] $\vec{v}_1$ [/mm] wird durch die beiden spitzen Winkel
[mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\beta_1$ [/mm] zwischen [mm] $\vec{v}_1$ [/mm] und positiver x- bzw. y-Achse
unter obigen Annahmen eindeutig festgelegt.
So, und nun erlaubst du, die Winkel [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \beta_1 [/mm] durch kleine
Änderungen zu den neuen Winkeln [mm] \alpha_2 [/mm] und [mm] \beta_2 [/mm] abzuändern.
Es soll gelten:
[mm] $\alpha_2 \in\ [\alpha_1-a\ [/mm] ,\ [mm] \alpha_1+a]$
[/mm]
[mm] $\beta_2 \in\ [\beta_1-b\ [/mm] ,\ [mm] \beta_1+b]$
[/mm]
Vielleicht ist es auch nützlich, diese Bezeichnungen einzuführen:
[mm] $\Delta \alpha\ [/mm] :=\ [mm] \alpha_2\ [/mm] - [mm] \alpha_1$
[/mm]
[mm] $\Delta \beta\ [/mm] :=\ [mm] \beta_2\ [/mm] - [mm] \beta_1$
[/mm]
Durch die Winkel [mm] \alpha_2 [/mm] und [mm] \beta_2 [/mm] wird die Richtung eines
neuen Vektors [mm] $\vec{v}_2$ [/mm] bestimmt. Dabei möchte ich, zumindest
mal vorläufig, davon ausgehen, dass dieser neue Vektor
immer noch in den ersten Oktanten zeigt, weil ja mit a
und b wenigstens zunächst einmal kleine maximale
Abänderungen gemeint sein sollten.
Nun willst du den Winkel (nennen wir ihn mal [mm] $\Delta\varphi$) [/mm] zwischen
den Vektoren [mm] $\vec{v}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{v}_2$ [/mm] betrachten und möchtest wissen,
wie [mm] $\Delta\varphi$ [/mm] von [mm] $\Delta \alpha$ [/mm] und [mm] $\Delta \beta$ [/mm] abhängt.
Habe ich das (wenigstens mal so weit) richtig interpretiert ?
Die genaue Fragestellung, um die es dir geht, formulierst
du nun wohl am besten, unter Benützung dieser Bezeichnungs-
weisen, selber exakt.
LG , Al-Chwarizmi
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> Ich habe den Winkel zw. den beiden Vektoren gemeint. Wenn
> sich Vektor2 in zwei Richtungen gleichzeitig bewegt,
> erreicht dieser Winkel irgendwann das Maximum. Vielleicht
> kann ich Fehlerfortpflanzung verwenden, aber die
> Voraussetzung ist, dieser Winkel muss analytisch angegeben
> werden und das ist überkompliziert.
Hallo Owen,
ich kann dir noch eine kleine Überlegung offerieren,
die mir schon länger vorschwebte, die ich nun aber
wohl auch einigermaßen verständlich formulieren kann.
Du beschreibst die Richtung des Vektors [mm] \vec{v} [/mm] (wir dürfen
annehmen, dass $\ [mm] |\vec{v}|\ [/mm] =\ 1$ ) praktisch in einem 2D-Koor-
dinatensystem auf der Einheitssphäre.
Die Durchstoßpunkte der x- und y-Achse durch die
Sphäre seien die Punkte A und B , und der Vektor [mm] \vec{v}
[/mm]
hat seine Spitze im Punkt P der Sphäre. Seine Richtungs-
winkel in Bezug auf die Achsen entsprechen dann den
Winkeln [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta, [/mm] welche in der Sprache der sphärischen
Trigonometrie den zwei Seitenlängen AP und BP des
Kugeldreiecks ABP entsprechen. Wenn wir nun dem Vektor
[mm] \vec{v} [/mm] Abweichungen in den Winkeln erlauben [mm] (\alpha
[/mm]
darf vom ursprünglichen Wert [mm] \alpha_1 [/mm] um höchstens [mm] $\pm [/mm] a$
und [mm] \beta [/mm] von [mm] \beta_1 [/mm] um maximal [mm] $\pm [/mm] b$ abweichen), dann erlauben
wir dem Punkt P gegenüber seiner ursprünglich auf der
Sphäre fixierten Lage, in einem gewissen Kugelviereck
frei zu wandern. Nun stellt sich deine ursprüngliche
Frage so: Welches ist der Punkt im Inneren oder auf
dem Rand dieses sphärischen Vierecks mit der größtmöglichen
(als Bogenlänge einer gewissen "Seite" zu messenden)
Entfernung vom ursprünglichen Punkt P ?
Nun kann man leicht Stetigkeitsargumente dafür
anführen, dass der (oder die, falls es mehr als einen
geben sollte) gesuchte Punkt bestimmt auf dem
Rand des Kugelvierecks liegen muss. In Frage kommen
also insbesondere die 4 Eckpunkte. Zu diesen kommt
man, wenn man, gemäß deiner anfänglichen Idee,
einfach die 4 möglichen Fälle mit [mm] $\alpha\ \in\ \{\alpha_1 \pm a\}$
[/mm]
und [mm] $\beta\ \in\ \{\beta_1 \pm b\}$ [/mm] durchspielt.
Nur ist es wohl auch vorstellbar, dass, wenigstens
in gewissen Situationen, der maximale Abstand
nicht an einer Ecke, sondern in einem inneren
Punkt einer der 4 Seiten des sphärischen Vierecks
auftritt.
Jetzt muss ich mir einen Gummiball und Kreide
suchen, um mir sphärische Skizzen für solche
Fälle zu entwerfen.
Um derartige Fälle rechnerisch zu lösen, geht man
so vor: Man setzt zum Beispiel [mm] \alpha:=\alpha_1+a
[/mm]
und lässt dann [mm] \beta [/mm] im Intervall [mm] [\beta_1-b [/mm] ..... [mm] \beta_1+b]
[/mm]
wandern. Das führt dann auf eine Extremalaufgabe
mit nur einer Variablen [mm] \beta. [/mm] Falls man dann anstatt
auf Differentialrechnung lieber auf sphärische Trigonometrie
setzt, kann man sich noch klar machen, dass ein
innerer Punkt M einer "Seite" EF nur dann extremalen
Abstand von P haben kann, wenn der Winkel PME (und
auch der Winkel PMF) rechte Winkel sind.
LG , Al-Chwarizmi
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> Nur ist es wohl auch vorstellbar, dass, wenigstens
> in gewissen Situationen, der maximale Abstand
> nicht an einer Ecke, sondern in einem inneren
> Punkt einer der 4 Seiten des sphärischen Vierecks
> auftritt.
> Jetzt muss ich mir einen Gummiball und Kreide
> suchen, um mir sphärische Skizzen für solche
> Fälle zu entwerfen.
Guten Abend !
Einen Gummiball habe ich zwar nicht auftreiben können.
Mittels Skizzen auf Papier bin ich aber trotzdem zur
Ansicht gelangt, dass es Situationen geben müsste,
in welchen der maximale Abstand nicht in einer Ecke
des Kugelvierecks, sondern in einem inneren Punkt
einer seiner Seiten auftritt.
Wenn ich ein konkretes Beispiel habe, werde ich es
mitteilen. Ohne Ball (zum Pröbeln) kann dies aber
etwas länger dauern ...
Übrigens muss die fragliche Figur nicht unbedingt ein
Kugelviereck sein - es kann z.B. auch "nur" ein Kugel-
dreieck sein. Zunächst handelt es sich ja einfach um
die Schniittmenge von zwei "Kugelzweiecken" (jedes
davon mit einem Rand, der aus 2 Groß-Halbkreisbögen
besteht). Die Form eines solchen "Kugelzweiecks" stellt
man sich am besten vor als die Gestalt der Schale eines
Melonenschnitzes, den man erhält, wenn man die
(kugelförmige) Melone in üblicher Weise zerschneidet,
indem man zwei die Kugel halbierende ebene Schnitte
legt.
Die Schnittmenge zweier derartiger Zweiecke muss
nicht in jedem Fall ein Kugelviereck sein. "Mehr" als
ein Kugelviereck geht aber jedenfalls nicht.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 So 23.08.2015 | | Autor: | senmeis |
Was Du beschrieben hast ist völlig korrekt. Ich überlege mir gerade wie Dein Vorschlag im letzten Beitrag anhand Matlab verwirklicht wird.
Owen
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> Nur ist es wohl auch vorstellbar, dass, wenigstens
> in gewissen Situationen, der maximale Abstand
> nicht an einer Ecke, sondern in einem inneren
> Punkt einer der 4 Seiten des sphärischen Vierecks
> auftritt.
Hallo Owen
ich kann jetzt endlich auch ein Beispiel dazu liefern,
das ich rechnerisch nachgeprüft habe.
Für den Einheitsvektor [mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{OP}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\ \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2}}$
[/mm]
gilt [mm] $\alpha\ [/mm] =\ 30$° und [mm] $\beta\ [/mm] =\ 90$° .
Wenn wir nun als maximale Abweichungen a=120° und b=30°
zulassen, so zeigt sich, dass der Punkt der Sphäre,
der im fraglichen Stück der Kugeloberfläche liegt
(es handelt sich hier um ein gleichschenkliges
Kugeldreieck) und von P den größtmöglichen
Abstand hat, nicht in einer Ecke, sondern in der
Mitte der kürzesten Seite des Dreiecks liegt.
Diese Seite hat die Länge (als Winkel ausgedrückt)
32.2°. Ihre Endpunkte (Dreiecks-Eckpunkte) haben
von Punkt P den Abstand 118.7°. Der Mittelpunkt
der Seite hat aber von P den (größeren) Abstand a=120° .
Für echt "kleine" Werte von a und b scheint aber dieses
Verhalten nicht in Frage zu kommen.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:46 Sa 29.08.2015 | | Autor: | senmeis |
Nehmen wir an, a und b sind klein. Ist es möglich, den abgeweichten Winkel analytisch zu formulieren, damit dieses Problem programmatisch gelöst wird?
Owen
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Eingeweichte Semmeln oder so etwas kenne ich. Aber etwas Abgeweichtes oder Abweichtes - das ist mir gänzlich neu ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 31.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Nehmen wir an, a und b sind klein. Ist es möglich, den
> abgeweichten Winkel analytisch zu formulieren, damit dieses
> Problem programmatisch gelöst wird?
>
> Owen
Hallo Owen,
falls du mit der Interpretation deiner Fragestellung einver-
standen bist, die ich in dieser Antwort geliefert habe,
dann kann man (wie ich vermute) für |a|<<1 und |b|<<1 davon
ausgehen, dass die gesuchte maximale Abweichung in einem
der 4 Eckpunkte des (kleinen) Kugelvierecks zu finden ist,
das sich dabei ergibt. Rechnerisch kann man dann
schlicht die 4 Fälle
[mm] $\alpha_2\ [/mm] =\ [mm] \alpha_1+a\ [/mm] \ [mm] \wedge\ [/mm] \ [mm] \beta_2\ [/mm] =\ [mm] \beta_1+b$
[/mm]
[mm] $\alpha_2\ [/mm] =\ [mm] \alpha_1+a\ [/mm] \ [mm] \wedge\ [/mm] \ [mm] \beta_2\ [/mm] =\ [mm] \beta_1-b$
[/mm]
[mm] $\alpha_2\ [/mm] =\ [mm] \alpha_1-a\ [/mm] \ [mm] \wedge\ [/mm] \ [mm] \beta_2\ [/mm] =\ [mm] \beta_1+b$ [/mm]
[mm] $\alpha_2\ [/mm] =\ [mm] \alpha_1-a\ [/mm] \ [mm] \wedge\ [/mm] \ [mm] \beta_2\ [/mm] =\ [mm] \beta_1-b$ [/mm]
durchrechnen und unter den 4 gefundenen Winkelabweichungen
die größte herausgreifen.
Ich meine, dass dies auch deine ursprüngliche Idee war, sofern
ich die damals richtig interpretiert habe.
Ich weiß nun nicht, ob dir noch nicht klar ist, wie man aus den
gegebenen Winkeln [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] eines (Einheits-)Vektors [mm] \vec{v} [/mm] auf
dessen Komponenten schließen kann. Dies braucht man ja, um
dann auch einen Winkel zwischen [mm] \vec{v_1} [/mm] und [mm] \vec{v_2} [/mm] zu
berechnen.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 29.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Das Ganze ist gar keine Frage über Winkel im Raum oder sonst etwas Geometrisches.
Man kann das Problem sofort lösen, wenn man es rückwärts angeht.
Nehmen wir an, du hast zwei Größen (hier: Winkel zwischen der x-Achse und jeweils einem der beiden Vektoren), die wir [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] nennen wollen. Dann kann man immer schreiben:
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] + [mm] \epsilon, [/mm] wobei [mm] \epsilon [/mm] kleiner, größer oder gleich 0 ist.
Setzt man nun r = [mm] |\epsilon|, [/mm] so ergibt sich damit
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 \pm [/mm] r.
Daraus folgt dann sofort:
[mm] |\alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2| [/mm] = r.
Jetzt schauen wir uns den ersten Teil deines Ausgangsproblems an. Du erfährst nun nur, dass
[mm] |\alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2| \le [/mm] a ist. Dann ist doch automatisch
r [mm] =|\alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2| \le [/mm] a, also r [mm] \le [/mm] a, also wäre der tatsächliche Abstand r dann höchstens a.
Mit den anderen Winkeln verhält es sich genau so.
Wo ist da jetzt das Problem?
Anders wäre es, wenn du statt [mm] |\alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2| [/mm] den Winkel zwischen den beiden Vektoren meintest - der kann natürlich viel größer sein.
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Hallo HJK
> Das Ganze ist gar keine Frage über Winkel im Raum oder
> sonst etwas Geometrisches.
Meiner Ansicht nach handelt es sich durchaus um eine
geometrische Frage; sie ist ja auch geometrisch
beschrieben - allerdings leider nicht so, dass man die
eigentlich gemeinte Fragestellung herausspüren kann ...
Auf diesen Mangel wies ich schon in meiner obigen
Antwort "exakte Fragestellung ?" hin.
LG , Al
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