abzählbare elementarereignisse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:24 Do 10.11.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo ihr alle,
ich habe hier folgende Aufgabe, zu der ich auch schon eine Lösungsidee habe, aber ich bin mit nicht ganz sicher, ob da nicht irgendwas noch hinkt.
Sei (Omega, [mm] \cal{A}, [/mm] P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit {omega} [mm] \in \cal{A} [/mm] für alle omega [mm] \in [/mm] Omega. Zeigen Sie, dass für höchstens abzählbar viele omega [mm] \in [/mm] Omega gelten kann: P{omega}>0.
Meine Idee war nun:
Da ja P(Omega) gleich 1 sein muss, gilt ja auch die Summe der P(omega) ist gleich 1. Das heißt, ich teile das Intervall von 0 bis 1 in Unterintervalle auf, deren Länge jeweils der Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses entspricht. Nun habe ich mir überlegt, dass wenn diese Intervalllängen in [mm] \IQ [/mm] liegen, die Menge abzählbar ist und wenn sie in [mm] \IR [/mm] liegen nicht abzählbar. Kann man nun sagen, dass wenn einem Intervall eine irrationale Zahl zugeordnet wird, es keine andere Zahl gibt, mit der ich multiplizieren oder die ich dazu addieren kann, um wieder eine rationale Zahl zu erhalten? Also kann kein Intervall eine irrationale Länge haben, denn nachher muss die Summe wieder 1 sein?
Vielen Dank für eure Mühe
Maike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Deine Idee mag eine gewisse richtige Intuition haben, taugt aber in der Form nicht als mathematischer Beweis.
Aber man kann es so machen:
Wegen
[mm] $\sum\limits_{ \omega \in \Omega} P(\omega)=1$
[/mm]
ist für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Menge
[mm] $\left\{\omega \in \Omega\, : \, P(\omega)> \frac{1}{n} \right\}$
[/mm]
endlich. Dann ist aber
[mm] $\{\omega \in \Omega\, : \, P(\omega)>0 \} [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{n \in \IN} \left\{\omega \in \Omega\, : \, P(\omega)> \frac{1}{n} \right\}$
[/mm]
als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen abzählbar.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Fr 11.11.2005 | | Autor: | mariposa |
Danke.
Ich verstehe jedoch nicht warum, [mm]\{\omega \in \Omega\, : \, P(\omega)>0 \} = \bigcup\limits_{n \in \IN} \left\{\omega \in \Omega\, : \, P(\omega)> \frac{1}{n} \right\}[/mm] . Könnte nicht einem [mm] \omega [/mm] auch die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] oder eine andere irrationale Zahl zuordnen?
LG
Maike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, könnte man, aber auch dann gibt es ja ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{\pi} [/mm] > [mm] \frac{1}{n}$,
[/mm]
also mit [mm] $P(\omega) [/mm] > [mm] \frac{1}{n}$.
[/mm]
Die Lösung bleibt also richtig.
Liebe Grüße
Stefan
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