achsenparallel z z^(2) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die zwei Scharen achsenparalleler Geraden werde unter der Abbildung [mm] $z\mapsto f(z)=z^{2}$ [/mm] auf zwei Scharen von Parabeln abgebildet.
a) Wie sieht die Abbildung einer einzelnen Geraden auf eine einzelne Parabel aus?
b) Ist sie surjektiv, injektiv, 2:1?
c) Was ist der Durchlaufsinn?
d) Gibt es verschiedene Geraden, die auf dieselbe Parabel abgebildet werden? Gibt es Spezialfälle?
e) Untersuche a)-d) für die beiden Hyperbelscharen, welche auf die Scharen achsenparalleler Geraden abgebildet werden. |
Hallo!
a) Sei [mm] $y\equiv [/mm] c$ eine Gerade parallel zur Reellen Achse, dann ist [mm] $u=x^{2}-c^{2}$ [/mm] und $v=2xc$. Damit folgt : $u= [mm] \frac{v^{2}}{4c^{2}}-c^{2}$
[/mm]
Sei [mm] $x\equiv [/mm] k$ das Bild einer parallelen Gerade zur y-Achse. Dann ist [mm] $u=k^{2}-y^{2}$ [/mm] und $v=2ky$. Damit folgt : [mm] $u=k^{2}-\frac{v^{2}}{4k^{2}}$
[/mm]
b) $f'(z)=2z [mm] \ne [/mm] 0 \ \ [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC ^{\*}$. [/mm] Sei also [mm] $f:\IC^{\*} \rightarrow \IC^{\*}$. [/mm]
mit [mm] $f(z_{1})=f(z_{2})) \gdw z_{1}^{2} [/mm] = [mm] z_{2}^{2} \gdw z_{1}^{2}-z_{2}^{2} [/mm] = [mm] (z_{1}-z_{2})(z_{1}+z_{2})=0 \Rightarrow z_{1}=z_{2}$ [/mm] oder [mm] $z_{2}=-z_{1}$ [/mm] also ist f nicht injektiv, aber surjektiv.
Was bedeutet 2:1? dass aus [mm] $f(z_{1})=f(z_{2}))$ [/mm] folgt dass [mm] $z_{1}=-z_{2}$ [/mm] oder [mm] $z_{1}=z_{2}$ [/mm] ?
c) geht man vom Nullpunkt aus gegen [mm] $-\infty$, [/mm] dann wird die Abbildung im Gegeunhrzeigersinn abgebildet, vom Nullpunkt aus gegen [mm] $\infty$ [/mm] im Uhrzeigersinn. geht man vom Nullpunkt aus gegen $i [mm] \infty$ [/mm] , dann im Gegenuhrzeigersinn, gegen $-i [mm] \infty$ [/mm] im Uhrzeigersinn.
d) Die Geraden [mm] $x\equiv [/mm] k$ und [mm] $x\equiv [/mm] -k$ entsprechen denselben Parabeln, genauso wie $y [mm] \equiv [/mm] c$ und [mm] $y\equiv [/mm] -c$. Spezialfälle:, die beiden Winkelhalbierenden bilden gemeinsam auf die ganze imaginäre Achse ab. Die imaginäre Achse selber wird auf [mm] $[0,-\infty]$ [/mm] abgebildet, die reelle Achse auf die positive reelle Achse.
e) Die Umkehrbilder lauten [mm] $w=\pm \sqrt{z}$
[/mm]
2a) Welche Kurven werden auf achsenparallele Geraden abgebildet?
Sei $u= [mm] x^{2}-y^{2} [/mm] = a [mm] \Rightarrow \pm [/mm] 1 = [mm] \frac{x^{2}-y^{2}}{|a|}$ [/mm] das ist eine Hyperbelschar, und $v=2xy = b [mm] \Rightarrow y=\frac{b}{2x}$
[/mm]
2b) surjektiv ja, injektiv ohne Beschränkung nein, mit Beschränkung ja, 2:1 ja
2c) analog zu c)
2d) Es werden diejenigen Hyperbeln auf dieselben Geraden abgebildet, die am Nullpunkt aufeinander gespiegelt werden. Die Rechte reelle Achse wird auf die linke abgebildet, die linke reelle Achse auf die untere imaginäre Achse
Ist das so OK?
Danke für jegliche Korrektur !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Do 13.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:34 Do 13.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo kushkush,
die Aufgabe lässt offenbar nicht nur mich ratlos zurück. Ist sie so vollständig?
> Die zwei Scharen achsenparalleler Geraden werde unter der
> Abbildung [mm]z\mapsto f(z)=z^{2}[/mm] auf zwei Scharen von Parabeln
> abgebildet.
Wir befinden uns wohl in [mm] \IC. [/mm] "Die zwei Scharen" scheint sich auf 1) Re(z)=const und Im(z)=const zu beziehen. Oder?
Nur: was für Parabeln sollen das denn sein? Solche in der komplexen Zahlenebene? Die Gerade i=0 liefert aber keine Parabel, und alle anderen auch nicht. Deswegen verstehe ich auch nicht, was Du da im folgenden tust.
Interpretationshinweise würden nicht schaden...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:32 Do 13.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo reverend,
also es ist
$f(x,y)= u+iv = [mm] (x+iy)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}-y^{2}+2ixy [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] v(x,y) = 2xy ; [mm] u(x,y)=x^{2}-y^{2}$ [/mm]
> keine Parabel
Die Geraden liegen im x-y Koordinatensystem und das Bild dann im u-v Koordinatensystem,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28z%29%3Dz%5E%282%29
> Re=const , Im=const
Gruss
kushkush
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