adjungierte Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 So 30.08.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
welcher Zusammenhang besteht zwischen einer dualen Abbildung und einer adjungierten Abbildung?
Sei f:V [mm] \to [/mm] W linear, B Basis von V, C Basis von W. dann gilt: [mm] A:=M_C^B(f)=(M_{B^\*}^{C^\*}(f^\*))^t
[/mm]
Ebenfalls gilt aber auch [mm] M_B^C(f^{ad})=\overline{A}^t
[/mm]
Ist in diesem Fall dann also [mm] f^{ad}=f^\*?
[/mm]
Liebe Grüße, moerni
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Hallo,
> welcher Zusammenhang besteht zwischen einer dualen
> Abbildung und einer adjungierten Abbildung?
> Sei f:V [mm]\to[/mm] W linear, B Basis von V, C Basis von W. dann
> gilt: [mm]A:=M_C^B(f)=(M_{B^\*}^{C^\*}(f^\*))^t[/mm]
> Ebenfalls gilt aber auch [mm]M_B^C(f^{ad})=\overline{A}^t[/mm]
> Ist in diesem Fall dann also [mm]f^{ad}=f^\*?[/mm]
Uff.. zum Glück ist dies nicht nur mir aufgefallen.. ich hatte schon Angst, etwas vollkommen misszuverstehen ^^
Auf jeden Fall habe ich ein bisschen gesucht und ich denke, etwas gefunden..
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Ganz am Schluss steht etwas darüber!
(Ich weiss, die Notation ist seeeeehr gewöhnungsbedürftig ^^ aber ich habe nix anderes gefunden)
Aber ich markiere das trotzdem nur als Mitteilung, falls jemand den Zusammenhang deutlicher erklären kann.. Ich wäre ebenfalls sehr, sehr froh um eine deutliche Antwort :)
> Liebe Grüße, moerni
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 31.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> welcher Zusammenhang besteht zwischen einer dualen
> Abbildung und einer adjungierten Abbildung?
Da gibt es einen sehr genauen Zusammenhang.
> Sei f:V [mm]\to[/mm] W linear, B Basis von V, C Basis von W. dann
> gilt: [mm]A:=M_C^B(f)=(M_{B^\*}^{C^\*}(f^\*))^t[/mm]
> Ebenfalls gilt aber auch [mm]M_B^C(f^{ad})=\overline{A}^t[/mm]
> Ist in diesem Fall dann also [mm]f^{ad}=f^\*?[/mm]Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Bis auf die komplexe Konjugation 
Allgemein kannst du zeigen: ist $V$ ein (endlichdimensionaler) Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle \bullet, \bullet \rangle$, so gibt es einen kanonischen $\IR$-Isomorphismus $V \to V^\ast$, $w \mapsto \begin{cases} V \to K \\ v \mapsto \langle v, w \rangle$. Wenn du $V$ mit der euklidischen Norm $\| v \| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$ und $V^\ast$ mit der induzierten Operatornorm ausstattest, so ist dies sogar ein isometrischer Isomorphismus.
Bei komplexen Vektorraeumen ist der Isomorphismus semilinear, also "bis auf komplexe Konjugation" linear: das ist der Grund warum du oben einmal die komplexe Konjugation da stehen hast und einmal nicht.
Allgemeiner kann man das fuer Hilbertraeume machen (endlichdimensionale Vektorraeume mit Skalarprodukt sind ein Spezialfall davon). Hilbertraeume spielen in der Funktionalanalysis und auch in der Anwendung (Physik) eine wichtige Rolle.
Und noch ein Nachtrag: die Wahl eines Isomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \to V^\ast$ [/mm] entspricht uebrigens (bei endlichdimensionalen Vektorraeumen $V$) der Wahl einer nicht degenerierten Bilinearform $V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K$:
- Ist [mm] $\varphi$ [/mm] ein Isomorphismus, so ist [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] := [mm] \mapsto \varphi(w)(v)$ [/mm] eine nicht-degenerierte Bilinearform;
- Ist [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$ [/mm] eine nicht-degenerierte Bilinearform, so ist $w [mm] \mapsto \begin{cases} V \to K \\ v \mapsto \langle v, w \rangle \end{cases}$ [/mm] ein Isomorphismus.
Wenn man genau hinschaut: das verallgemeinert den obigen Isomorphismus
LG Felix
|
|
|
|
