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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:05 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | | Seien (V, < . , . >_{V}) und (W, < . , . >_{W}) zwei endlichdimensionale euklidische Vektorräume und sei f [mm] \in [/mm] L(V,W). Zeigen Sie, dass ein eindeutiges g [mm] \in [/mm] L(W,V) mit < f(v) , w >_{W} = < v, g(w) >_{V} [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V , w [mm] \in [/mm] W existiert. Wir schreiben dann [mm] f^{ad} [/mm] := g und nennen diese die zu f adjungierte Abbildung, oder kurz die Adjungierte von f. |
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Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich leider einige Probleme. Ich fang erstmal damit an, was ich schon habe:
Sei [mm] [f]_{B,B} [/mm] die Matrixdarstelllung von f [mm] \in [/mm] L(V,W) bzgl. einer gegebenen Orthogonalbasis. Dann gilt:
[mm] [f]_{B,B} [/mm] = [mm] ([f^{ad}]_{B,B})^{T}
[/mm]
Wie kann ich hier nun die Existenz zeigen?
Es existiere g [mm] \in [/mm] L(W,V), so ist g linear.
Beweis: < f(v), [mm] \lambda_{1} w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} w_{2}>_{W}
[/mm]
= < v, g( [mm] \lambda_{1} w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} w_{2})>_{V} [/mm] < f(v) , [mm] \lambda_{1} w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} w_{2}>_{W}
[/mm]
= [mm] \lambda_{1} [/mm] < f(v) , [mm] w_{1} [/mm] >_{W} + [mm] \lambda_{2} [/mm] < f(v) , [mm] w_{2} [/mm] >_{W} = [mm] \lambda_{1} [/mm] < v, [mm] g(w_{1} [/mm] >_{V} + [mm] \lambda_{2} [/mm] < v, [mm] g(w_{2} [/mm] >_{V}
[mm] \Rightarrow [/mm] < v, g ( [mm] \lambda_{1} w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} w_{2}>_{V} [/mm] = < v, [mm] \lambda_{1} g(w_{1}) [/mm] + [mm] \lambda_{2} g(w_{2})>_{V}
[/mm]
Dies gilt für alle [mm] \lambda_{1} [/mm] , [mm] \lambda_{2} \in \IR [/mm] , v [mm] \in [/mm] V , [mm] w_{1},w_{2} \in [/mm] W . Damit ist g linear.
Eindeutigkeit: Sei h [mm] \in [/mm] L(W,V) nun eine Adjungierte zu f [mm] \in [/mm] L(V,W). So folgt:
< f(v),w > = < v, g(w) > = < v, h(w)> für alle v [mm] \in [/mm] V und w [mm] \in [/mm] W.
[mm] \Rightarrow [/mm] g(w) = h(w) für alle w [mm] \in [/mm] W
[mm] \Rightarrow [/mm] g = h .
Ich hoffe auf eine baldige Antwort und Hilfe, danke =)
Richler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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