adjungierten eines Operators < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 28.11.2011 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich soll den adjungierten eines Operators finden. Der Operator ist [mm] A=x\bruch{d}{dx}
[/mm]
Mein Ansatz ist
[mm] \integral_{}^{}{\psi^{*}_{1}(x)A^{+}\psi_{2}(x) dx}=\integral_{}^{}{(A\psi^{*}_{1}(x))\psi_{2}(x) dx}=\integral_{}^{}{(x\bruch{d}{dx}\psi^{*}_{1}(x))\psi_{2}(x) dx} [/mm] mit Produktintegration
[mm] =[x\psi_{1}(x)-\integral_{}^{}{\psi_{1}(x) dx}]^{*}\psi_{2}(x)-\integral_{}^{}{[x\psi_{1}(x)-\integral_{}^{}{\psi_{1}(x) dx}]^{*}\bruch{d}{dx}\psi_{2}(x)dx}
[/mm]
Hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich müsste ja einen ähnlichen Term wie das erste Integral bekommen, damit ich die beiden miteinander vergleichen kann, um den adjungierten abzulesen.
Bin für jeden Tip dankbar
Liebe Grüße
volk
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 28.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich soll den adjungierten eines Operators finden. Der
> Operator ist [mm]A=x\bruch{d}{dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz ist
>
> [mm]\integral_{}^{}{\psi^{*}_{1}(x)A^{+}\psi_{2}(x) dx}=\integral_{}^{}{(A\psi^{*}_{1}(x))\psi_{2}(x) dx}=\integral_{}^{}{(x\bruch{d}{dx}\psi^{*}_{1}(x))\psi_{2}(x) dx}[/mm]
> mit Produktintegration
> [mm]=[x\psi_{1}(x)-\integral_{}^{}{\psi_{1}(x) dx}]^{*}\psi_{2}(x)-\integral_{}^{}{[x\psi_{1}(x)-\integral_{}^{}{\psi_{1}(x) dx}]^{*}\bruch{d}{dx}\psi_{2}(x)dx}[/mm]
Da ist mir nicht klar, was du gerechnet hast.
Einfacher ist es, den Faktor x zu [mm] $\psi_2$ [/mm] dazuzuschlagen, also
[mm]\integral_{}^{}{(x\bruch{d}{dx}\psi^{*}_{1}(x))\psi_{2}(x) dx} = \integral \bruch{d}{dx}\psi^{*}_{1}(x) (x\psi_{2}(x) ) dx[/mm]
[mm] = \psi^{*}_{1}(x)(x\psi_{2}(x) ) - \integral\psi^{*}_{1}(x)\bruch{d}{dx}(x\psi_{2}(x) ) dx[/mm]
[mm] = \psi^{*}_{1}(x)(x\psi_{2}(x) ) - \integral\psi^{*}_{1}(x) \left(1+x\bruch{d}{dx}\right)\psi_{2}(x) dx [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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