adjungierter Endomorpismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Di 06.09.2005 | | Autor: | Schobbi |
Sei V=M(n; [mm] \IC) [/mm] versehen mit dem Skalarprodukt <a|b>=Spur(ab*). Sei ferner p eine feste invertierbare Matrix aus V und [mm] L_{p} [/mm] der Endomorphismus von V gegeben duch [mm] L_{p}(a)=pa. [/mm] Finde den zu [mm] L_{p} [/mm] adjungierten Endomorphismus.
Hallo zusammen. Bei der o. g. Aufgabe komme ich leider nicht weiter. Man sollte meinen, dass man hier einfach nur Definitionen einsetzen und Umformungen machen muss. Also bin ich wie folgt angefangen:
Es muss gelten [mm] =, [/mm] also [mm] L_{p}=L_{p} [/mm] * mit [mm] L_{p}(a)=pa, [/mm] wobei p invertierbar ist.
[mm] [/mm] = <pa|b> = Spur((pa) b*) = Spur(pa [mm] \underbrace{p^{-1}p}_{Id} [/mm] b*)
An dieser Stelle bleibe ich dann immer hängen, denn in der Klammer darf ich ja nicht willkürliche Vertauschungen vornehmen, sondern nur zyklische. Würde mich freuen wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte. Gruß Schobbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da ähnliche Matrizen die gleiche Spur haben, gilt:
[mm] $Spur(PAB^{\star}) [/mm] = [mm] Spur(P^{-1}PAB^{\star}P) [/mm] = [mm] Spur(AB^{\star}P) [/mm] = [mm] Spur(A(P^{\star}B)^{\star})$.
[/mm]
Daraus kann man die Adjungierte jetzt leicht ablesen... Wenn du möchtest, kannst du sie zur Kontrolle gerne angeben oder Rückfragen stellen. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Schobbi |
Vorab schon mal herzlichen Dank für deinen Ansatz, der auch sehr plausiebel ist, jedoch bin ich beim weiterrechnen über etwas gestolpert. Und zwar habe ich versucht von dem Endergebnis [mm] [/mm] zu dem von dir gegebenen Ansatz hinzukommen:
[mm] ==Spur(a(pb)^{\*}) [/mm] vergleicht man dies mit deiner Gleichungskette [mm] (...=Spur(a(p^{\*}b)^{\*})), [/mm] stellt man fest, dass hier [mm] p^{\*}=p [/mm] sein muss.
Jetzt meine Frage: Ist das so richtig?
Gruß Schobbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Der zu [mm] $L_p$ [/mm] adjungierte Operator [mm] $L_p^{\star}$ [/mm] ist der eindeutig bestimmte Operator $f$, der der Gleichung
[mm] $\langle L_p [/mm] a,b [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] a, fb [mm] \rangle$
[/mm]
für alle $a$ und $b$ genügt.
Nun haben wir aber gezeigt, dass der Operator [mm] $f=L_{p^{\star}}$ [/mm] dieser Gleichung genügt.
Also folgt:
[mm] $L_p^{\star} [/mm] = [mm] L_{p^{\star}}$.
[/mm]
Ich sehe gerade: Wir sind ja im Endlichdimensionalen.  Also ersetze "Operator" immer durch "Matrix/lineare Abbildung".
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Do 08.09.2005 | | Autor: | Schobbi |
Wollte mir hiermit nochmals für deine Bemühungen bedanken. Ich denke, dass ich die Aufgabe jetzt verstanden habe.
Also dann Gruß Schobbi
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