Ähnlich zur Inversen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 04.04.2012 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich beschäftige mich gerade mit der Ähnlichkeit von quadratischen Matrizen und da ist mir folgende Frage aufgekommen:
Bekanntlich entspricht die Determinante der Inversen [mm] A^{-1} [/mm] einer regulären Matrix A ja dem Kehrwert der Determinante von A:
[mm] de(A^{-1}) [/mm] = [mm] (det(A))^{-1}
[/mm]
Da ähnliche Matrizen stets die selbe Determinante besitzen, können folglich nur Matrizen mit Determinante 1 ähnlich zu ihren Inversen sein. Nun hab ich mich gefragt, ob det(A)=1 nicht bereits eine ausreichendes Kriterium für die Ähnlichkeit von A und [mm] A^{-1} [/mm] ist. Klingt etwas weit hergeholt, aber irgendwie will mir einfach kein Gegenbeispiel gelingen. Kann mir jemand ein solches aufzeigen oder auf andere Weise erklären, weshalb diese Idee unsinnig ist?
Vielen Dank
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Hallo, damit eine Matrix invertierbar ist,muss sie vollen Rang haben. Dh invertierbare Matrizen mit Rang 1 wären 1x1-Matrizen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Mi 04.04.2012 | | Autor: | phychem |
Ups, hab mich verschrieben. Gemeint ist natürlich Determinante 1.
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Hi, ich kenne mich jetzt nicht so gut aus.
Aber will einmal das schreiben, was mir dazu einfällt.
Ich weiss, dass Jede Matrix A [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] ähnlich zu ihrer transponierten ist, dh. es existiert so eine invertierbare Matrix [mm] P\in\IC^{nxn} [/mm] sd. [mm] P^{-1}AP=A^t [/mm] . Ist A eine orthogonale Matrix, dann gilt [mm] A^{-1}=A^t [/mm] (im Falle K=IR), außerdem gilt für orthogonale Matrizen det(A)=+/- 1. Also in dem Fall geht auch Determinante=-1 (Z.B. für Spiegelungen). Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Do 05.04.2012 | | Autor: | phychem |
Vorweg: Die Frage bezieht sich auf beliebige Körper, nicht zwingend [mm] \IC.
[/mm]
Aber ja stimmt, eine Determinante -1 liesse sich ebenfalls mit der Gleichung [mm] det(A^{-1})=(det(A))^{-1} [/mm] und der Forderung [mm] det(A)=det(A^{-1}) [/mm] vereinbaren.
Ich sollte meine Frage also wie folgt umformulieren:
Folgt aus [mm] det(A)=\pm1 [/mm] bereits, dass A und [mm] A^{-1} [/mm] ähnlich sind?
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Hi, K muss wirklich nicht zwingend [mm] \IC [/mm] sein, aber habe vorsichtshalber erstmal so argumentiert. Zu deiner Frage: Das kann man nicht so folgern, denn haben zwar ähnliche Matrizen die gleiche Determinante, aber die Umkehrung gilt i.A. nicht. Also das zwei Matrizen die gleiche Determinante haben heißt nicht, dass sie ähnlich sind. Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Do 05.04.2012 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort.
Dass man aus identischen Determinanten nicht zwingend folgern kann, dass die beiden Matrizen ähnlich sind, ist mir im allgemeinen Fall klar.
Nur in diesem spezifischen Fall find ich einfach kein Beispiel, dass mir aufzeigt, dass A trotz [mm] det(A)=\pm1 [/mm] und damit [mm] det(A^{-1})=\pm1 [/mm] nicht ähnlich zu [mm] A^{-1} [/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Do 05.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo phychem,
der vermutete Zusammenhang gilt nicht.
Gegenbeispiel:
Sei [mm] $K:=\IR$,
[/mm]
[mm] $A:=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch16 }$.
[/mm]
Dann gilt gilt [mm] $\det(A)=2\cdot3\cdot\bruch16=1$,
[/mm]
[mm] $A^{-1}=\pmat{ \bruch12 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch13 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }$.
[/mm]
$A$ und [mm] $A^{-1}$ [/mm] sind nicht zueinander ähnlich, da sie nicht die gleichen Eigenwerte haben.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Do 05.04.2012 | | Autor: | phychem |
Ach, so einfach wäre es gewesen....hab mich leider immer an viel zu komplexen Beispielen versucht. In deinem Beispiel sieht man die nicht-vorhandene Ähnlichkeit ja auch in der unterschiedlichen Spur.
Danke für die Hilfe. Damit ist meine Frage beantwortet.
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