ähnliche Dreiecke mit Vektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Fr 12.03.2010 | | Autor: | phantic |
Hi,
ich habe folgendes Problem:
Ich habe ein Dreieck B - C - E (B-C nicht parallel zur x-Achse) und von den Punkten B und C einen Vektor der auf die jeweiligen Punkte B' und C' zeigt. Nun sollen die Punkte B' und C' zusammen mit dem Punkt E' (der so gebildet wird wie B' und C') ein zu dem Ursprungsdreieck B - C - E ähnliches Dreieck B' - C' - E' bilden. Dabei kann dieses neue Dreieck in seiner Größe und in seiner Orientierung verschieden sein zum Ausgangsdreieck.
Gesucht ist der Vektor E - E'. Man weiß noch das der Vektor E - E' der kürzest mögliche sein muss, also ein "überklappen" des neuen Dreiecks ist nicht möglich.
Als Anmerkugn zur Lösung: muss das am Ende mit Excel berechnen können, wäre also schön, wenn sich die Lösung auf einfache Gleichungssyteme etc. beschränken würde.
Vielen Dank für die Hilfe
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> Hi,
> ich habe folgendes Problem:
> Ich habe ein Dreieck B - C - E (B-C nicht parallel zur
> x-Achse) und von den Punkten B und C einen Vektor der auf
> die jeweiligen Punkte B' und C' zeigt. Nun sollen die
> Punkte B' und C' zusammen mit dem Punkt E' (der so gebildet
> wird wie B' und C') ein zu dem Ursprungsdreieck B - C - E
> ähnliches Dreieck B' - C' - E' bilden. Dabei kann dieses
> neue Dreieck in seiner Größe und in seiner Orientierung
> verschieden sein zum Ausgangsdreieck.
> Gesucht ist der Vektor E - E'. Man weiß noch das der
> Vektor E - E' der kürzest mögliche sein muss, also ein
> "überklappen" des neuen Dreiecks ist nicht möglich.
> Als Anmerkugn zur Lösung: muss das am Ende mit Excel
> berechnen können, wäre also schön, wenn sich die Lösung
> auf einfache Gleichungssyteme etc. beschränken würde.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte bitte die Forenregeln: wir wollen Lösungsansätze von Dir sehen, also wissen, was Du bisher versucht und überlegt hast, und wieso Du nicht weiterkommst. Wir wollen nicht Deine Aufgabe lösen.
Wenn ich alles richtig verstehe, sind die Punkte B,C, E, B', C' bekannt.
Mithilfe des Skalarproduktes kannst Du die Winkel im Dreieck BCD berechnen.
[mm] E'=(e_1', e_2') [/mm] mußt Du nun so berechnen, daß [mm] \overrightarrow{B'C'} [/mm] und [mm] \overrightarrow{B'E'} [/mm] den Winkel [mm] \beta [/mm] und entsprechend [mm] \overrightarrow{B'C'} [/mm] und [mm] \overrightarrow{C'E'} [/mm] den Winkel [mm] \gamma [/mm] einschließen.
Oder: es ist [mm] |\overrightarrow{BC}|*k=|\overrightarrow{B'C'}|.
[/mm]
Berechne [mm] E'=(e_1', e_2') [/mm] so, daß [mm] |\overrightarrow{BE}|*k=|\overrightarrow{B'E'}| [/mm] und [mm] |\overrightarrow{EC}|*k=|\overrightarrow{E'C'}|
[/mm]
Gruß v. Angela
> [Dateianhang nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Sa 13.03.2010 | | Autor: | weduwe |
die berechnung der winkel würde ich mir ersparen.
berechne die schnittpunkte der beiden kreise um B´mit [mm] r_B =k\cdot|BE| [/mm] und analog um C´.
der näher bei E liegende ist der gesuchte punkt E´.
|
|
|
| |
|
> die berechnung der winkel würde ich mir ersparen.
Hallo,
ich mir auch.
> berechne die schnittpunkte der beiden kreise um B´mit [mm]r_B =k\cdot|BE|[/mm]
> und analog um C´.
Das ist der ja zweite der von mir vorgeschlagenen Wege.
Gruß v. Angela
> der näher bei E liegende ist der gesuchte punkt E´.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Sa 13.03.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
nur mal eine Frage an die Mathematiker: könnte man das mit komplexen Zahlen in der GZE lösen?
Die Ähnlichkeitsabbildung ist im Idealfall eine Drehstreckung (durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl realisierbar) und enthält schlimmstenfalls noch eine Verschiebung (Addition einer komplexen Zahl).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:01 Sa 13.03.2010 | | Autor: | phantic |
Erstmal möchte ich mich entschuldigen wenn ich hier die Regeln gebrochen hab daher hier noch meine Erklärung was ich schon gemacht hab:
1. Punkt E' errechnen als Vektorkette von 0 auf B auf B' auf E'. Den Vektor von B' auf E' müsste man errechnen. Man kennt seine Länge (die Dreiecke sind ähnlich und man kann das Verhältnis von |B-C| zu |B'-C'| gleich dem Verhältnis von |B-E| zu |B'-E'| setzen. Nun brauch man noch den Winkel des Vektors, das ist der Drehwinkel (absofort phi+ beta) phi kriegt man als Winkel zwischen B-C und B'-C' heraus.
Für der Vektor B'-E' gilt dann x= cos(phi+beta)*|B'-E'| y=sin(phi+beta)*|B'-E'| und man kann ganz die oben genannte Vektorkette bilden
zu 1. hab das in Excel eingesetzt kam nicht wirklich das Richtige raus leider
2. hab es wie hier auch schon erwähnt mit Winkeln berechnen und soweiter probiert, da kam ich allerdings auch zu keinem 1. schönem Ergbenis (sehr viele Sonderfälle bin mir nicht sicher aber kann es sein das es 4 mögliche Vektoren gibt, die durch einen Punkt gehen und einen bestimmten festen Winkel mit einem anderen Vektor einschließen ?) 2. bin ich auch so auf kein richtiges Ergebnis gekommen
Zu der Lösung mit den Kreisen schöne Idee blöd das ich da nicht selber drauf gekommen bin, zumal ich das an anderer Stelle in der Aufgabe schonmal gemacht habe. Leider kommt man auch über diesen Lösungsweg auf meiner meinung nach 8 mögliche Lösungen (zu jedem beispielsweise x-Wert wovon man 2 erhält, 2 y-Werte je Kreis), wäre also nur meine Notlösung....
Ich hatte gedacht das es vielleicht eine Matrix gibt die eine Drehung und Streckung wiedergibt (müsste sich nicht bei 2 zusammenhängenden Bildern im 2-dimensionalen eine feste Beziehungen bestimmen lassen, nach denen dies gebildet werden?)
|
|
|
| |
|
> Zu der Lösung mit den Kreisen schöne Idee blöd das ich
> da nicht selber drauf gekommen bin, zumal ich das an
> anderer Stelle in der Aufgabe schonmal gemacht habe. Leider
> kommt man auch über diesen Lösungsweg auf meiner meinung
> nach 8 mögliche Lösungen
Hallo,
das kann ich mir eigentlich nicht vorstellen...
Es dürften doch nur zwei Lösungen sein...
>
> Ich hatte gedacht das es vielleicht eine Matrix gibt die
> eine Drehung und Streckung wiedergibt
Ja, sowas in der Richtung hatte abakus ja auch angesprochen.
Man könnte das Dreieck um B so drehen, daß [mm] BC\parallel [/mm] B'C' ist, dann strecken, dann um den Vektor [mm] \overrightarrow{BB'} [/mm] verschieben.
Als Matrix sollte sich das mit homogenen Koordinaten realisieren lassen, oder halt als Abbildung der Form [mm] \phi(x)=Ax+b, [/mm] A Matrix, b Vektor.
Ich habe im Moment aber nicht den Drive, das genau auszuklamüsern.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 15.03.2010 | | Autor: | weduwe |
wie du schreibst - läßt sich die idee von abakus sehr schön mit homogenen koordinaten realisieren.
wenn ich es recht verstehe, erhält man die 2. lösung durch spiegelung an der geraden durch B´C´
das ganze läßt sich leicht in excel realisieren, wie auch der weg über die beiden kreise.
der vorteil ist, man hat keine fallunterscheidungen (außer eine problemlose für [mm] \alpha=\frac{\pi}{2}, [/mm] was man mit arctan2() erledigt) und kann die matrixoperationen von excel nutzen.
|
|
|
|
