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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo alle zusammen, ich bin gerade am Lernen für ne Klausur. Nun und ich sitze an der Aufgabe und komme nicht ganz weiter. Könnt ihr mir nen Tipp geben?
Es sei [mm]f=(x^2+1)(x+1)^2 \in \IR[x][/mm]
(a) Zeigen sie: Haben zwei Matritzen [mm]A,B\in\IR^{5\times5}[/mm] das Polynom f als Minimalpolynom, d.h. ist [mm]\gamma_A=\gamma_B=f[/mm], so sind A und B ähnlich
(b) Wieviele Klassen ähnlicher Matrizen, die f als Minimalpolynom haben, gib es in [mm]\IR{6\times6}[/mm]? (Mit Beweis)
Also bei (b) habe ich 3 Ähnlichkeitsklassen gefunden. Kann das stimmen?
Bis denne
Jessica
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Hallo Jessica,
> Hallo alle zusammen, ich bin gerade am Lernen für ne
> Klausur. Nun und ich sitze an der Aufgabe und komme nicht
> ganz weiter. Könnt ihr mir nen Tipp geben?
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> Es sei [mm]f=(x^2+1)(x+1)^2 \in \IR[x][/mm]
> (a) Zeigen sie: Haben
> zwei Matritzen [mm]A,B\in\IR^{5\times5}[/mm] das Polynom f als
> Minimalpolynom, d.h. ist [mm]\gamma_A=\gamma_B=f[/mm], so sind A und
> B ähnlich
>
Ueberlege dir, welchen Grad das charakteristische Polynom von A und B haben muss. Dann rufe dir die Teilbarkeitsbeziehung zwischen Minimalpolynom und charakteristischen Polynom ins Gedächtnis. Zeige damit, dass A und B dasselbe charakteristische Polynom haben (und damit sind sie ähnlich).
> (b) Wieviele Klassen ähnlicher Matrizen, die f als
> Minimalpolynom haben, gib es in [mm]\IR{6\times6}[/mm]? (Mit
> Beweis)
>
Hier kannst du so anfangen wie bei a). Ich finde aber nur 2 mögliche charakteristische Polynome und damit nur 2 Ähnlichkeitsklassen.
> Also bei (b) habe ich 3 Ähnlichkeitsklassen gefunden. Kann
> das stimmen?
Welche hast du denn gefunden?
> Bis denne
> Jessica
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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zu a)
wenn die Minimalpolynome [mm] \gamma_{A}=\gamma_{B}=(x^{2}+1)(x+1)^{2} [/mm] von A und B [mm] \in \IR^{5x5} [/mm] gegeben sind, weisst du ja schonmal, dass der Grad des charakteristischen Polynoms von A und B gleich 5 sein muss.
Mit diesem Wissen bleibt für das charakteristische Polynom nur noch eine Möglichkeit, da das Mininamlpolynom dieses ja teilen muss. Damit weisst du, dass das charakteristische Polynom von A und B gleich ist, womit die beiden ähnlich sind.
zu b)
im [mm] \IR^{6x6} [/mm] finde ich auch nur 2 Ähnlichkeitsklassen.
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Hi,
zu dieser Aufgabe hatte ich mir folgendes überlegt:
der Grad vom charakteristichen Polynom ist 6 und somit gleich dem Grad der Invariantenteiler (wenn man diese Multipliziert). somit hätte ich 2 Fälle:
(hier seien p1 und p2 Invariantenteiler)
1. p1=1 und p2=x²+1 oder p1=1 und p2= (x+1)²
=> 2 Ähnlichkeitsklassen
2. p1= x+1 und p2= x+1
=> 1 Ähnlichkeitsklasse
Insgesamt also 3 Ähnlichkeitsklassen
ist das Richtig? wie kommt ihr auf 2 Ähnlichkeitsklassen?
vielen Dank im Voraus
liebe Grüße
Catherine
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Gruß!
Mir ist die Bezeichnung "Invariantenteiler" unklar, aber auch ich komme nur auf 2 Äquivalenzklassen. Das Minimalpolynom ist ja:
[mm] $\mu [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + 1) (x + [mm] 1)^2$
[/mm]
Jeder echte, irreduzible Teiler von [mm] $\mu$ [/mm] kommt auch im charakteristischen Polynom [mm] $\chi$ [/mm] vor (das ist nicht trivial, aber wahr), also gibt es nur 2 Möglichkeiten, wenn der Grad von [mm] $\chi$ [/mm] gleich 6 ist:
[mm] $\chi [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] (x + [mm] 1)^2$
[/mm]
Oder:
$ [mm] \chi [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + 1) (x + [mm] 1)^4$
[/mm]
Das liegt daran, dass [mm] $x^2 [/mm] + 1$ über [mm] $\IR$ [/mm] irreduzibel ist.
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 So 01.08.2004 | | Autor: | Jessica |
Entschuldigung dass ich mich erst jetzt melde. also ich habe das genauso wie Catherine berechnen, sehe aber jetzt ein, dass es nur 2 Klassen gibt. Danke für eure Hilfe.
Bis denne
Jessica
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