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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Fr 18.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Matrizen A und B ähnlich sind.
[mm] A=\pmat{2&-4&-2&1\\1&1&-1&-1\\1&-3&-1&1\\2&2&-2&-2}, B=\pmat{1&-3&1&2\\-1&3&-1&-2\\-2&5&-2&-3\\-1&3&-1&-2} [/mm]
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Guten Morgen,
ich habe bereits ermittelt, dass A und B nilpotent mit Nilpotentindex 3 sind.
Jetzt steht in meinem Skript, dass 2 Matrizen gleich sind, wenn ihre Partitionen gleich sind.
Kann ich jetzt A und B mit elementarer Zeilenumformung auf eine Diagonalmatrix bringen und diese dann vergleichen ?
Oder sollte man das mit dem charakteristischen Polynom machen ?
Danke, Susanne.
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> Untersuchen Sie, ob die Matrizen A und B ähnlich sind.
> [mm]A=\pmat{2&-4&-2&1\\1&1&-1&-1\\1&-3&-1&1\\2&2&-2&-2}, B=\pmat{1&-3&1&2\\-1&3&-1&-2\\-2&5&-2&-3\\-1&3&-1&-2}[/mm]
>
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> Guten Morgen,
> ich habe bereits ermittelt, dass A und B nilpotent mit
> Nilpotentindex 3 sind.
> Jetzt steht in meinem Skript, dass 2 Matrizen gleich sind,
> wenn ihre Partitionen gleich sind.
> Kann ich jetzt A und B mit elementarer Zeilenumformung auf
> eine Diagonalmatrix bringen und diese dann vergleichen ?
> Oder sollte man das mit dem charakteristischen Polynom
> machen ?
Hallo,
ich kenne die Partitionen, von denen Du sprichst nicht. Was bedeutet der Begriff in diesem Zusammenhang?
Und geht da um gleiche Matrizen, wie Du schreibst, oder um ähnliche?
Ich würde über die JNF gehen.
Wenn [mm] A^3=0, A^2\not=0 [/mm] und [mm] B^3=0, B^2\not=0,
[/mm]
weißt Du ja schon, daß beider längstes Jordankästchen die Länge 3 hat. Also muß das andere die Länge 1 haben.
Da die Matrizen nilpotent sind, kennst Du ihre Eigenwerte, kannst also die JNF aufstellen und vergleichen.
> Kann ich jetzt A und B mit elementarer Zeilenumformung auf
> eine Diagonalmatrix bringen und diese dann vergleichen ?
> Oder sollte man das mit dem charakteristischen Polynom
> machen ?
Das kommt darauf an, was Du vorhast...
Wenn Du Dich für den Rang der Matrizen interessieren würdest, weil Du wissen wolltest, welche Dimension der Eigenraum zum EW 0 hat, wäre das natürlich die Methode der Wahl.
Wenn Du aber irgendwelche Matrizen diagonalisieren möchtest, hat der Gaußalgorithmus mit seinen elementaren Zeilenumformungen hier nichts verloren!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Fr 18.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
wieder einmal vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
Es geht um Ähnlichkeit, nicht um Gleichheit.
> Ich würde über die JNF gehen.
>
> Wenn [mm]A^3=0, A^2\not=0[/mm] und [mm]B^3=0, B^2\not=0,[/mm]
> weißt Du ja
> schon, daß beider längstes Jordankästchen die Länge 3 hat.
> Also muß das andere die Länge 1 haben.
Das klingt so, als wäre das Jordankästchen eine Partition.
> Da die Matrizen nilpotent sind, kennst Du ihre Eigenwerte,
> kannst also die JNF aufstellen und vergleichen.
Die Eigenwerte sind dann 0, aber wie kann ich mit diesem Wissen die JNF aufstellen ?
> Wenn Du Dich für den Rang der Matrizen interessieren
> würdest, weil Du wissen wolltest, welche Dimension der
> Eigenraum zum EW 0 hat, wäre das natürlich die Methode der
> Wahl.
Diesen Zusammenhang verstehe ich noch nicht so richtig.
Wenn ich A als homog.GS auffasse und prüfe, wieviel Lösungen es hat, habe ich meinen Eigenraum ermittelt (bzw. die Anzahl der Lösungen entspricht der Dimension des Eigenraumes).
Und wenn A und B die gleiche Dimension ? oder den gleichen Eigenraum ? haben sind sie ähnlich ?
VIELEN DANK, Susanne.
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> > Wenn [mm]A^3=0, A^2\not=0[/mm] und [mm]B^3=0, B^2\not=0,[/mm]
> > weißt Du
> ja
> > schon, daß beider längstes Jordankästchen die Länge 3 hat.
> > Also muß das andere die Länge 1 haben.
> Das klingt so, als wäre das Jordankästchen eine
> Partition.
Hallo,
ja, das kann sein.
Mit der Information "Nilpotenzgrad 3" weiß ich, da wir 4x4 Matrizen haben, daß die JNF so aussieht:
[mm] \pmat{ \red{\*} & 0 &0 & 0 \\0 & \green{\*} &\green{1}& \green{0}\\ 0 & \green{0} &\green{\*} & \green{1}\\ 0 & \green{0} &\green{0}& \green{\*} }
[/mm]
>
> > Da die Matrizen nilpotent sind, kennst Du ihre Eigenwerte,
> > kannst also die JNF aufstellen und vergleichen.
> Die Eigenwerte sind dann 0, aber wie kann ich mit diesem
> Wissen die JNF aufstellen ?
Du weißt,daß 0 der einzige Eigenwert ist, also kommt der auf die Diagonale.
> > Wenn Du Dich für den Rang der Matrizen interessieren
> > würdest, weil Du wissen wolltest, welche Dimension der
> > Eigenraum zum EW 0 hat, wäre das natürlich die Methode der
> > Wahl.
> Diesen Zusammenhang verstehe ich noch nicht so richtig.
> Wenn ich A als homog.GS auffasse und prüfe,
welches eeine basis des Lösungsraumes ist,
> habe ich meinen Eigenraum ermittelt (bzw.
> die Anzahl der
Basisvektoren
> entspricht der Dimension des
> Eigenraumes).
> Und wenn A und B die gleiche Dimension ?
A und B haben keine Dimension.
> oder den gleichen
> Eigenraum ? haben sind sie ähnlich?
Nein.
Es haben [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 2 & 0\\ 0 & 2 } [/mm] denselben Eigenraum. Ähnlich sind sie nicht.
Gruß v. Angela
Denn Du findest keine Matrix mit [mm] S^{-1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }S=\pmat{ 2 & 0\\ 0 & 2 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Fr 18.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ah, jetzt sehe ich klarer,
VIELEN VIELEN DANK !
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