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| Aufgabe | Für welche Werte [mm] a_1,...,a_6,b_0,...,b_6\in \mathbb{R} [/mm] sind die Matrizen A,B ähnlich?
[mm] A=\begin{pmatrix}1 & a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
0 & 2 & a_{4} & a_{5}\\
0 & 0 & 3 & a_{6}\\
0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix},\, B=\begin{pmatrix}b_{0} & 0 & 0 & 0\\
b_{1} & 1 & 0 & 0\\
b_{2} & b_{3} & 2 & 0\\
b_{4} & b_{5} & b_{6} & 3\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich weiß hier nicht so recht, wie ich das berechnen muss.
Was ich über ähnliche Matrizen weiß, ist folgendes:
Es gibt eine invertierbare n [mm] \times [/mm] n-Matrix P über K mit B = P ^{-1}AP.
Außerdem wenn A ähnlich zu B sein soll, müssten die Matrizen die gleichen Eigenwerte und damit ja auch das gleiche charakteristische Polynom haben.
Ich berechne also die charakteristische Polynome beider Matrizen, setze sie gleich und prüfe, wann Gleichheit gilt. Aber dann komme ich nicht auf Werte fü die a's und b's. Ist der Weg denn so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Also kann auch sein dass ich jetzt vollkommen daneben liege aber... Ähnliche Matrizen haben die gleiche Spur, also muss [mm] b_0=4 [/mm] sein. Beide Matrizen haben somit die Eigenwerte 1,2,3,4 und sind damit diagonalisierbar, insbesondere ähnlich. Fazit: [mm] b_0=4 [/mm] der Rest ist frei wählbar.
Gruß, Robert
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ich bin mir nicht sicher ,ob der rest wirklich frei wählbar ist ,denn es muss ja folgendes alles erfüllt sein und nicht nur gleiche spur:
Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren). Daraus folgt, dass sie
* den gleichen Rang,
* die gleiche Determinante,
* die gleiche Spur,
* das gleiche charakteristische Polynom,
* das gleiche Minimalpolynom und
* die gleiche Jordansche Normalform
haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja aber in diesem Fall, weil es vier verschiedene Eigenwerte gibt, ist jede Matrix für sich genommen diagonalisierbar d.h.
1) [mm] $T_1AT_1^{-1}=\pmat{1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4}=:D$ [/mm] für ein gewisses [mm] $T_1\in GL(4,\IR)$
[/mm]
2) [mm] $T_2BT_2^{-1}=D$ [/mm] für ein gewisses [mm] $T_2\in GL(4,\IR)$
[/mm]
Also insgesamt [mm] $T_2^{-1}T_1AT_1^{-1}T_2=B$.
[/mm]
Gruß, Robert
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> Ja aber in diesem Fall, weil es vier verschiedene
> Eigenwerte gibt, ist jede Matrix für sich genommen
> diagonalisierbar d.h.
>
> 1)
> [mm]T_1AT_1^{-1}=\pmat{1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4}=:D[/mm]
> für ein gewisses [mm]T_1\in GL(4,\IR)[/mm]
> 2) [mm]T_2BT_2^{-1}=D[/mm] für
> ein gewisses [mm]T_2\in GL(4,\IR)[/mm]
Aber ist [mm] T_2BT_2^{-1} [/mm] nicht gleich = [mm] \pmat{4&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3}
[/mm]
ungleich D, oder ist das vollkommen unbedeutend?
Ich habe alles andere überprüft und da die Eigenwerte gleich sind dann auch das charakteristische Polynmon. Rang der Matrizen sind sowieso gleich und Determinante auch. Damit müsste das eigtl mit [mm] b_0=4 [/mm] und Rest frei wählbar schon stimmen, aber das kommt mir nur so komisch vor, da die Aufgabe dann so leicht wäre.
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> Also insgesamt [mm]T_2^{-1}T_1AT_1^{-1}T_2=B[/mm] und somit
>
> Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber ist [mm]T_2BT_2^{-1}[/mm] nicht gleich =
> [mm]\pmat{4&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3}[/mm]
> ungleich D, oder ist das vollkommen unbedeutend?
Natürlich ist das Unbedeutend. Wenn [mm] $\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ [/mm] so aussieht wie du geschhrieben hast, wie sieht es dann wohl bezüglich der Basis [mm] $\{b_2,b_3,b_4,b_1\}$ [/mm] aus?
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 So 17.05.2009 | | Autor: | T_sleeper |
> > Aber ist [mm]T_2BT_2^{-1}[/mm] nicht gleich =
> > [mm]\pmat{4&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3}[/mm]
> > ungleich D, oder ist das vollkommen unbedeutend?
> Natürlich ist das Unbedeutend. Wenn [mm]\{b_1,b_2,b_3,b_4\}[/mm] so
> aussieht wie du geschhrieben hast, wie sieht es dann wohl
> bezüglich der Basis [mm]\{b_2,b_3,b_4,b_1\}[/mm] aus?
>
Ja richtig, dann habe ich wieder [mm] \pmat{1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4}.
[/mm]
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