Ähnlichkeits-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Gegeben ist die Differentialgleichung:
y' = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
Hinweis: Welche Differentialgleichung erfüllt u := [mm] \bruch{y(x)}{x}? [/mm] |
Hallo,
ich komm da irgendwie nicht weiter bzw weiß nicht ob mein Rechenweg stimmt:
u := [mm] \bruch{y(x)}{x}
[/mm]
u' = [mm] \bruch{1}{x}(y' [/mm] - [mm] \bruch{y}{x})
[/mm]
Ich setze jetzt erstmal y' = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] als homogene DGl ein, weil sonst bekomme ich das y nicht weg:
u' = [mm] \bruch{1}{x}(u [/mm] + [mm] u^{2}*x^{2} [/mm] - u) = [mm] u^{2}*x
[/mm]
Dann würde ich diese separierbare DGl lösen, und dann mit der Lösung per Variation der Konstanten eine spezielle Lsg bestimmen.
Geht das so? Wenn nicht, wo bin ich falsch?
Gruß,
Audience
|
|
| |
|
Hallo Audience,
> Gegeben ist die Differentialgleichung:
> y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
>
> Hinweis: Welche Differentialgleichung erfüllt u :=
> [mm]\bruch{y(x)}{x}?[/mm]
> Hallo,
>
> ich komm da irgendwie nicht weiter bzw weiß nicht ob mein
> Rechenweg stimmt:
>
> u := [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm]
> u' = [mm]\bruch{1}{x}(y'[/mm] - [mm]\bruch{y}{x})[/mm]
>
> Ich setze jetzt erstmal y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] als
> homogene DGl ein, weil sonst bekomme ich das y nicht weg:
> u' = [mm]\bruch{1}{x}(u[/mm] + [mm]u^{2}*x^{2}[/mm] - u) = [mm]u^{2}*x[/mm]
Da ist ein [mm]x^{2}[/mm] verlorengegangen:
[mm]u' = \bruch{1}{x}(u + u^{2}*x^{2}+\red{x^{2}} - u)[/mm]
> Dann würde ich diese separierbare DGl lösen, und dann mit
> der Lösung per Variation der Konstanten eine spezielle Lsg
> bestimmen.
Natürlich kannst Du die DGL so lösen.
>
> Geht das so? Wenn nicht, wo bin ich falsch?
Siehe oben.
>
> Gruß,
> Audience
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo Audience,
>
> > Gegeben ist die Differentialgleichung:
> > y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
> >
> > Hinweis: Welche Differentialgleichung erfüllt u :=
> > [mm]\bruch{y(x)}{x}?[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich komm da irgendwie nicht weiter bzw weiß nicht ob mein
> > Rechenweg stimmt:
> >
> > u := [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm]
> > u' = [mm]\bruch{1}{x}(y'[/mm] - [mm]\bruch{y}{x})[/mm]
> >
> > Ich setze jetzt erstmal y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] als
> > homogene DGl ein, weil sonst bekomme ich das y nicht weg:
> > u' = [mm]\bruch{1}{x}(u[/mm] + [mm]u^{2}*x^{2}[/mm] - u) = [mm]u^{2}*x[/mm]
>
>
> Da ist ein [mm]x^{2}[/mm] verlorengegangen:
>
> [mm]u' = \bruch{1}{x}(u + u^{2}*x^{2}+\red{x^{2}} - u)[/mm]
Hallo,
eigentlich nicht, oder?
u' = [mm]\bruch{1}{x}(y'[/mm] - [mm]\bruch{y}{x})[/mm] und y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
==> [mm] u'=\bruch{1}{x}(\bruch{y}{x} [/mm] + [mm] y^{2} -\bruch{y}{x}) =xu^2
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Fr 29.08.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo angela.h.b,
> > Hallo Audience,
> >
> > > Gegeben ist die Differentialgleichung:
> > > y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
> > >
> > > Hinweis: Welche Differentialgleichung erfüllt u :=
> > > [mm]\bruch{y(x)}{x}?[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > ich komm da irgendwie nicht weiter bzw weiß nicht ob mein
> > > Rechenweg stimmt:
> > >
> > > u := [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm]
> > > u' = [mm]\bruch{1}{x}(y'[/mm] - [mm]\bruch{y}{x})[/mm]
> > >
> > > Ich setze jetzt erstmal y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] als
> > > homogene DGl ein, weil sonst bekomme ich das y nicht weg:
> > > u' = [mm]\bruch{1}{x}(u[/mm] + [mm]u^{2}*x^{2}[/mm] - u) = [mm]u^{2}*x[/mm]
> >
> >
> > Da ist ein [mm]x^{2}[/mm] verlorengegangen:
> >
> > [mm]u' = \bruch{1}{x}(u + u^{2}*x^{2}+\red{x^{2}} - u)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> eigentlich nicht, oder?
>
> u' = [mm]\bruch{1}{x}(y'[/mm] - [mm]\bruch{y}{x})[/mm] und y' =
> [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]
>
> ==> [mm]u'=\bruch{1}{x}(\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]y^{2} -\bruch{y}{x}) =xu^2[/mm]
Zu lösen ist die DGL
[mm]y' = \bruch{y}{x} + x^{2} + y^{2} [/mm]
Führe ich nun die Substitution [mm]y=u*x[/mm] ein, so ist
[mm]y'=u'*x+u[/mm]
Demzufolge auch
[mm]u'*x+u=\bruch{u*x}{x}+x^{2}+u^{2}x^{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow u'x+u=u+x^{2}+u^{2}*x^{2}[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Und ich biete
[mm]u' = x \left( u^2 + 1 \right)[/mm]
an.
|
|
|
| |
|
> Und ich biete
>
> [mm]u' = x \left( u^2 + 1 \right)[/mm]
>
> an.
Gut. ich mache von diesem Angebot Gebrauch - es sieht edler aus als das von MathePower, ist aber ja im Grunde dasselbe
Ihr habt mich überzeugt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
