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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Fr 08.09.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Wieviele Ähnlichkeitsklassen komplexer Nilpotenter 4x4-Matritzen gibt es?
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(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute,
also die Lösung ist 5 nur welche genau weiß ich nicht.
also allgemein für endom. fallen mir nur streckung, spiegelung und drehung ein. gibts da noch was?
gehe glaube ich falsch an die frage ran oder verstehe die falsch
wäre echt nett, wenn ihr mir weiterhelfen könnt
gruß ari
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Es ist schon lange her, daß ich mich mit so etwas beschäftigt habe, deswegen sind die folgenden Zeilen mit Vorsicht zu genießen.
Jede vierreihige quadratische Matrix über [mm]\mathbb{C}[/mm] ist doch ähnlich zu einer Jordanschen Normalform. Und diese ist bestimmt durch die quadratischen Kästchenmatrizen entlang der Hauptdiagonalen, welche obere Dreiecksmatrizen sind und in der Hauptdiagonalen überall denselben Eigenwert und in der ersten Nebendiagonalen lauter Einsen (und ansonsten Nullen) haben. Permutationen der Kästchen ändern die Äquivalenzklasse nicht. Jordanschen Normalformen, die nicht durch Permutation der Kästchen auseinander hervorgehen, gehören verschiedenen Äquivalenzklassen an. Stimmt das?
Jetzt soll ja die Matrix nilpotent sein, sie hat daher nur 0 als Eigenwert. Die Kästchenmatrizen sind also obere Dreiecksmatrizen, die in der Hauptdiagonalen aus Nullen und in der ersten Nebendiagonalen aus Einsen bestehen.
1. (4=1+1+1+1)
Vier Kästchenmatrizen vom Typ 1×1. Das ist insgesamt also die 4×4-Nullmatrix.
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
2. (4=2+1+1)
Eine Kästchenmatrix vom Typ 2×2 und zwei Kästchenmatrizen vom Typ 1×1.
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
3. (4=2+2)
Zwei Kästchenmatrizen vom Typ 2×2.
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
4. (4=3+1)
Eine Kästchenmatrix vom Typ 3×3 und eine Kästchenmatrix vom Typ 1×1.
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
5. (4=4)
Eine Kästchenmatrix vom Typ 4×4
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Wie gesagt, sicher bin ich mir nicht, daß das richtig ist. Es klingt aber hübsch.
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