Änderungsrate < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 27.05.2007 | | Autor: | Linalina |
| Aufgabe | Die Ableitung des Kreisflächeninhalts [mm]\pi*r^2[/mm] nach dem Radius r ergibt den Umfang [mm] 2*\pi*r [/mm] .
Begründe ohne die Formeln zu benutzen: Warum ist die Änderunsrate des Kreisflächeninhalts der Umfang? Stelle Dir vor, der Kreis wird von der Mitte aus aufgeblasen. |
Hallo!
Könnt ihr mir helfen? Wie soll ich es begründen, ohne die Formeln zu benutzen?
Viele Grüße
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 So 27.05.2007 | | Autor: | barb |
Hallo,
vielleicht hilft Dir folgende Vorstellung weiter:
Es geht um die Änderungsrate der Fläche, wenn sich der Radius ändert.
Stell dir eine sehr dünne Schnur (Dicke delta r) vor, die wie eine Lakritzschnecke aufgewickelt wird. Um den Radius der gesamten Schnecke um delta r wachsen zu lassen, muss man ein 2*Pi*delta r langes Stück dazu wickeln.
Barb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 So 27.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei dem Aufblasen kommt einKreisring der Dicke [mm] \Delta [/mm] r dazu. Wenn man den aufschneiddet ist er ein langes schmales beinahe Rechteck, wenn man dessen Seitenlänge durch [mm] \Delta [/mm] r teilt, kommt die Seitenlänge raus. Dabei muss [mm] \Delta [/mm] r seeehhr klein sein, damit es wirklich ppraktisch ein Rechteck ist. und sieh da der Kreisring ist [mm] \Delta [/mm] A und [mm] \Delt A/\Delta [/mm] r=Umfang.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Linalina |
Hallo!
Ersteinmal vielen Dank für die Antworten.
Ich verstehe, dass man wenn man den Kreis aufbläst, einen Kreisring der Dicke ?r hat, oder ihn wie eine sehr, sehr dünne Lakritzschnecke aufrollt. Dann verstehe ich auch, dass man ein schmales beinahe Rechteck hat, weil man sich vorstellt, der Kreis wäre ein fast-Rechteck. Aber was meinst du damit, dass du die Seitenlänge des Rechtecks durch ?r teilst und die Seitenlänge herausbekommst? Und wie kommt es dann, dass der Kreisring ?A ist und warum ist A/?r der Umfang?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 28.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Lina
> Hallo!
> Ersteinmal vielen Dank für die Antworten.
> Ich verstehe, dass man wenn man den Kreis aufbläst, einen
> Kreisring der Dicke ?r hat, oder ihn wie eine sehr, sehr
> dünne Lakritzschnecke aufrollt. Dann verstehe ich auch,
> dass man ein schmales beinahe Rechteck hat, weil man sich
> vorstellt, der Kreis wäre ein fast-Rechteck. Aber was
> meinst du damit, dass du die Seitenlänge des Rechtecks
> durch ?r teilst und die Seitenlänge herausbekommst? Und wie
> kommt es dann, dass der Kreisring ?A ist und warum ist A/?r
1. Mit A meinte ich die Fläche, mit [mm] \Delta [/mm] A die Änderung der Flächche also [mm] \Delta A=\pi*r2^2-\pi*r2^2 [/mm] r1 Radius am Anfang, r2 am Ende. Mit [mm] \Delta [/mm] r=r2-r1.
[mm] \bruch{\Delta A}{\Delta r}=\bruch{\pi*r2^2-\pi*r2^2 r1}{r2-r1}
[/mm]
Das [mm] \Delta [/mm] A ist also die Änderung des flächeninhalts und das ist gerade der Flächeninhalt des Rechtecks.
Wenn man ein Rechteck hat Seiten a,b ist die Fläche A=a*b
Wenn ich nur eine Seite,b kenne und die Fläche A, kann ich die andere Seite ausrechnen, indem ich die Fläche A durch b teile: a=A/b
Die Änderung der Fläche, geteilt durch die Breite, die Differenz der Radien, ist also die 2. Seite des Rechtecks, und das ist der Umfang.
Ich hoffe, es ist jetzt klarer. denn beim Differenzieren rechnest du doch auch
[mm] \bruch{\pi*r2^2-\pi*r2^2 r1}{r2-r1} [/mm] und dann r1 gegen r2
> der Umfang?
Wenns noch nicht klar ist, frag halt weiter.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Linalina |
Vielen Dank!
Jetzt habe ichs verstanden!
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