Äqivalenzrelat. bei Normen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über einen Körper mit Betrag. Zeigen Sie:
a) Die Relation ~ für Normen auf V ist eine Äuqivalenzrelation
b) Aus [mm] \parallel \circ \parallel_{1} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{2} [/mm] folgt
U c V offen bzgl. [mm] \parallel \circ \parallel_{1} \gdw [/mm] U c V offen bzgl. [mm] \parallel \circ \parallel_{2}
[/mm]
Ist [mm] (x_{n}) [/mm] c V eine Folge, x [mm] \in [/mm] V, so gilt:
[mm] (x_{n}) \to [/mm] x bzgl. [mm] \parallel \circ \parallel_{1} \gdw (x_{n}) \to [/mm] x bzgl. [mm] \parallel \circ \parallel_{2}
[/mm]
[mm] (x_{n}) [/mm] Cauchy Folge bzgl. [mm] \parallel \circ \parallel_{1} \gdw (x_{n} [/mm] C.F. bzgl [mm] \parallel \circ \parallel_{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
Also ich weiß das ich bei der a) zeigen muss:
1) [mm] \parallel \circ \parallel_{1} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{1}
[/mm]
2) [mm] \parallel \circ \parallel_{1} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{2} \gdw \parallel \circ \parallel_{2} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{1} [/mm] (Symetrie)
3) [mm] \parallel \circ \parallel_{1} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{2} [/mm] und [mm] \parallel \circ \parallel_{2} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{3} \Rightarrow \parallel \circ \parallel_{1} [/mm] ~ [mm] \parallel \circ \parallel_{3} [/mm] (Transitivität)
Überall in den Büchern find ich zwar dass es so sein muss, aber keinen beweis dafür und genau das soll ich ja zeigen. Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll?!
Kann mir da einer helfen??
|
|
| |
|
Hi,
> Sei V ein Vektorraum über einen Körper mit Betrag. Zeigen
> Sie:
>
> a) Die Relation ~ für Normen auf V ist eine
> Äuqivalenzrelation
> b) Aus [mm]\parallel \circ \parallel_{1}[/mm] ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{2}[/mm]
> folgt
>
> U c V offen bzgl. [mm]\parallel \circ \parallel_{1} \gdw[/mm] U c V
> offen bzgl. [mm]\parallel \circ \parallel_{2}[/mm]
>
> Ist [mm](x_{n})[/mm] c V eine Folge, x [mm]\in[/mm] V, so gilt:
>
> [mm](x_{n}) \to[/mm] x bzgl. [mm]\parallel \circ \parallel_{1} \gdw (x_{n}) \to[/mm]
> x bzgl. [mm]\parallel \circ \parallel_{2}[/mm]
>
> [mm](x_{n})[/mm] Cauchy Folge bzgl. [mm]\parallel \circ \parallel_{1} \gdw (x_{n}[/mm]
> C.F. bzgl [mm]\parallel \circ \parallel_{2}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in kein anderes Forum gestellt.
>
> Also ich weiß das ich bei der a) zeigen muss:
> 1) [mm]\parallel \circ \parallel_{1}[/mm] ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{1}[/mm]
>
> 2) [mm]\parallel \circ \parallel_{1}[/mm] ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{2} \gdw \parallel \circ \parallel_{2}[/mm]
> ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{1}[/mm] (Symetrie)
>
> 3) [mm]\parallel \circ \parallel_{1}[/mm] ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{2}[/mm]
> und [mm]\parallel \circ \parallel_{2}[/mm] ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{3} \Rightarrow \parallel \circ \parallel_{1}[/mm]
> ~ [mm]\parallel \circ \parallel_{3}[/mm] (Transitivität)
>
>
> Überall in den Büchern find ich zwar dass es so sein muss,
> aber keinen beweis dafür und genau das soll ich ja zeigen.
> Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll?!
> Kann mir da einer helfen??
du musst uns schon mitteilen, wie Ihr die Relation ~ definiert habt. Wenn das einfach bedeutet, dass die normen gegeneinander abgeschaetzt werden koennen, dann schreib dir doch einfach mal hin, was du zeigen musst. die meisten der aussagen ergeben sich dann fast von alleine...
gruss
matthias
|
|
|
|
