Äquiv.Klassen zusammenfassen? < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Sa 13.11.2010 | | Autor: | jikz |
Hallo Zusammen!
Folgende Aufgabenstellung beschäftigt mich momentan:
(G, ◦) ist eine Gruppe mit G = {e, d, s, a, b, c} und der Gruppentafel
◦ e d s a b c
e e d s a b c
d d a b e c s
s s c e b a d
a a e c d s b
b b s d c e a
c c b a s d e
(Die Gruppeneigenschaft von (G, ◦) braucht nicht bewiesen zu werden.) Bestimmen Sie alle ¨ Aquivalenzklassen [x]R, x ∈ G.
Unter Beachtung von [x] = {y [mm] \in [/mm] G | yRx} hab ich mir folgende Äquivalenzklassen notiert:
[e] = {e,d,s,a,b,c}
[d] = {e,d,s,a,b,c}
[s] = {e,d,s,a,b,c}
[a] = {e,d,s,a,b,c}
[b] = {e,d,s,a,b,c}
[c] = {e,d,s,a,b,c}
Ist das so korrekt oder hat sich da ein Denkfehler eingeschlichen?
Angenommen es wäre so korrekt dann fällt auf dass jede Äquivalenzklasse dieselben Elemente besitzt.
Ist es möglich das irgendwie "zusammenzufassen" ? bzw. muss ich noch einen (und wenn ja - welchen?) Schritt weitergehen?
Vielen Dank!
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:17 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> Hallo Zusammen!
>
> Folgende Aufgabenstellung beschäftigt mich momentan:
>
>
> (G, ◦) ist eine Gruppe mit G = {e, d, s, a, b, c} und der
> Gruppentafel
>
> ◦ e d s a b c
> e e d s a b c
> d d a b e c s
> s s c e b a d
> a a e c d s b
> b b s d c e a
> c c b a s d e
>
> (Die Gruppeneigenschaft von (G, ◦) braucht nicht bewiesen
> zu werden.) Bestimmen Sie alle ¨ Aquivalenzklassen [x]R, x
> ∈ G.
>
>
> Unter Beachtung von [x] = {y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | yRx} hab ich mir
> folgende Äquivalenzklassen notiert:
>
> [e] = {e,d,s,a,b,c}
> [d] = {e,d,s,a,b,c}
> = {e,d,s,a,b,c}
> [a] = {e,d,s,a,b,c}
> = {e,d,s,a,b,c}
> [c] = {e,d,s,a,b,c}
>
> Ist das so korrekt oder hat sich da ein Denkfehler
> eingeschlichen?
Nun, das haengt natuerlich davon ab, wie deine Aequivalenzrelation aussieht. Es ist durchaus moeglich, dass dieses Ergebnis stimmt.
> Angenommen es wäre so korrekt dann fällt auf dass jede
> Äquivalenzklasse dieselben Elemente besitzt.
>
> Ist es möglich das irgendwie "zusammenzufassen" ? bzw.
> muss ich noch einen (und wenn ja - welchen?) Schritt
> weitergehen?
Nun, du kannst die Menge $G/R$ betrachten, also die Menge der Aequivalenzklassen. Das ist eine einelementige Menge.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:50 So 14.11.2010 | | Autor: | jikz |
Ahh.. Da hab ich wohl geschlafen. An die Relationsvorschrift hab ich garnicht mehr gedacht. Bin irgendwie bequemerweise davon ausgegangen, dass die ersten Elemente der Reihe & Spalte jeweils äquivalent zueinander sind.
Die Vorschrift lautet:
gRh : ⇔ ∃ x ∈ G : x^−1 ◦ g ◦ x = h
nehm ich mir jetzt beispielsweise "s" und "d" aus der tabelle.. Wie sollte ich jetzt überprüfen, ob sie zueinander relativ sind bzw. ob es nun ein x^-1 und x gibt, mit dem g verknüpft h ergibt?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:56 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ahh.. Da hab ich wohl geschlafen. An die
> Relationsvorschrift hab ich garnicht mehr gedacht. Bin
> irgendwie bequemerweise davon ausgegangen, dass die ersten
> Elemente der Reihe & Spalte jeweils äquivalent zueinander
> sind.
Aeh, das ist i.A. nicht so.
> Die Vorschrift lautet:
>
> gRh : ⇔ ∃ x ∈ G : x^−1 ◦ g ◦ x = h
Es waere praktisch, wenn du den Formeleditor verwenden wuerdest.
Mit dieser Relation ist deine Antwort falsch. Es gibt mind. zwei Aequivalenzklassen. Eine davon besteht aus nur einem einzigen Element.
> nehm ich mir jetzt beispielsweise "s" und "d" aus der
> tabelle.. Wie sollte ich jetzt überprüfen, ob sie
> zueinander relativ sind bzw. ob es nun ein x^-1 und x gibt,
> mit dem g verknüpft h ergibt?
Nun, am einfachsten ist es, wenn du zu gegebenen Element $g$ alle Elemente $h$ findest mit [mm] $x^{-1} [/mm] g x = h$.
Dazu berechnest du [mm] $x^{-1} [/mm] g x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] G$. Fuer $x = e$ kommt immer $g$ raus, ebenso fuer $x = g$. Damit hast du es schonmal etwas einfacher.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 14.11.2010 | | Autor: | jikz |
kann ich
[mm]gRh :<=> \exists x \in G: x^{-1} o g o x = h[/mm]
zu
[mm]
gRh :<=> \exists x \in G: g o x = h o x[/mm]
umformen?!
das inverse element eines inversen elementes, ist ja das element selbst.
also würde aus [mm]x^{-1}[/mm] wieder [mm]x[/mm]?! und das auf die andere Seite gebracht ergebe [mm]h o x[/mm] ?!
Nur dann ergeben sich lediglich fünf ein-elementige Äquivalenzklassen, also wird das wohl falsch sein!?
Wie sollte ich denn sonst darauf kommen wie das inverse Element eines Elementes ist?! (außer halt beim neutralen Element e)
wenn ich beachte, dass für x=e immer g herauskommt und f. x=g,
dann ergeben sich schon einmal folgende Relationen:
e~e, d~d, s~s, a~a, b~b, c~c...da ich dort immer als x das e wählen kann und dann das Element relativ zu sich selbst ist.
Ich danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Mo 15.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> kann ich
>
> [mm]gRh :<=> \exists x \in G: x^{-1} o g o x = h[/mm]
>
> zu
>
> [mm]
gRh :<=> \exists x \in G: g o x = h o x[/mm]
>
> umformen?!
Nein. Oder ist die Gruppe kommutativ?
> das inverse element eines inversen elementes, ist ja das
> element selbst.
Ja.
> also würde aus [mm]x^{-1}[/mm] wieder [mm]x[/mm]?! und das auf die andere
> Seite gebracht ergebe [mm]h o x[/mm] ?!
Es gibt $x [mm] \circ [/mm] h$, wenn schon. Und nicht $h [mm] \circ [/mm] x$. Du musst aufpassen, von welcher Seite du mit $x$ multiplizierst.
> Nur dann ergeben sich lediglich fünf ein-elementige
> Äquivalenzklassen, also wird das wohl falsch sein!?
Das ist falsch.
(Wenn schon muessten es sechs Klassen sein, die Gruppe hat schliesslich 6 Elemente.)
> Wie sollte ich denn sonst darauf kommen wie das inverse
> Element eines Elementes ist?! (außer halt beim neutralen
> Element e)
Du hast die Verknuepfungstabelle doch da stehen. Da steht das doch drinnen!
> wenn ich beachte, dass für x=e immer g herauskommt
Wobei?
> und f.
> x=g,
> dann ergeben sich schon einmal folgende Relationen:
>
> e~e, d~d, s~s, a~a, b~b, c~c...da ich dort immer als x das
> e wählen kann und dann das Element relativ zu sich selbst
> ist.
Ja, die Relation ist reflexiv.
Aber nicht alle Konjugationsklassen sind einelementig.
Schreib doch mal alle Elemente [mm] $x^{-1} [/mm] d x$ auf, wobei du fuer $x$ alle Elemente [mm] $\neq [/mm] e, d$ aus $G$ einsetzt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:48 Mo 15.11.2010 | | Autor: | jikz |
>
> > Wie sollte ich denn sonst darauf kommen wie das inverse
> > Element eines Elementes ist?! (außer halt beim neutralen
> > Element e)
>
> Du hast die Verknuepfungstabelle doch da stehen. Da steht
> das doch drinnen!
>
Sorry, wenn das so offensichtlich ist. Nur hab ich da ein kleines Verständnisproblem :(
Und zwar folgendes:
> Schreib doch mal alle Elemente $ [mm] x^{-1} [/mm] d x $ auf, wobei du fuer x alle Elemente $ [mm] \neq [/mm] e, d $ aus G einsetzt.
okay, dann wähle ich als mein erstes x beispielsweise das "s". Dann ergibt sich folgender Ausdruck: [mm]s^{-1}odos[/mm] .
Mein Problem ist jetzt (was für dich so trivial ist) das einfach aus der Tabelle abzulesen.
[mm]sod[/mm] ergibt b .. Aber wie lese ich jetzt ich jetzt ab was das [mm]s^{-1}[/mm] sein soll? :( ist [mm]s^{-1}od[/mm] dann einfach [mm]bod[/mm]? wohl kaum..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 17.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
