Äquiv. zur Folgenkonvergenzdef < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 18.11.2014 | | Autor: | drossel |
| Aufgabe | die Frage ist, welche Aussagen äquivalent zur Def. von Folgenkonvergenz [mm] (\forall \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] n_0\in \mathbb{N}: |a_n-a|<\epsilon [/mm] für jedes [mm] n\ge n_0$) [/mm] sind:
i)Es gibt ein [mm] $n_0\in \mathbb{N}$, [/mm] so dass für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ und für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $|a_n-a|<\epsilon$.
[/mm]
[mm] ii)$\forall \epsilon [/mm] >0$ gibt es ein k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und ein [mm] n_0\in \mathbb{N}, [/mm] so dass [mm] \forall n\ge n_0+k [/mm] gilt [mm] |a_n-a| |
Hi
Wir haben die Aufgaben schon in der Übung besprochen, aber nachträglich ist mir das immernoch unklar.
Wir haben gesagt
Also i) ist auf jeden Fall nicht äquivalent. Sei [mm] a_n=\frac{1}{n}, [/mm] diese konvergiert gegen 0. Für [mm] \epsilon [/mm] >0 muss es ein [mm] n_0 \in \mathbb{N} [/mm] geben mit [mm] \frac{1}{n_0}<\epsilon [/mm]
Wählt man jetzt [mm] \epsilon=\frac{1}{n_0+1}, [/mm] bekommt man einen Widerspruch:
[mm] \frac{1}{n_0} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1<0.
Kann man das so machen? [mm] \epsilon [/mm] muss doch beliebig bleiben?
Bei ii) haben wir als Gegenbeispiel [mm] (a_n)=(-1)^n [/mm] und a=0, [mm] k=\frac{2}{\epsilon}. (a_n) [/mm] divergiert aber erfüllt ii).
Stimmt das zu ii) überhaupt? Man kann doch nicht einfach sagen a=0?
Ich hätte gedacht, dass ii) äquivalent zur Definition von Folgenkonvergenz ist
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> die Frage ist, welche Aussagen äquivalent zur Def. von
> Folgenkonvergenz [mm](\forall \epsilon[/mm] >0 existiert ein [mm]n_0\in \mathbb{N}: |a_n-a|<\epsilon[/mm]
> für jedes [mm]n\ge n_0$)[/mm] sind:
> i)Es gibt ein [mm]n_0\in \mathbb{N}[/mm], so dass für alle
> [mm]\epsilon >0[/mm] und für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm].
>
> ii)[mm]\forall \epsilon >0[/mm] gibt es ein k [mm]\in \mathbb{N}[/mm] und ein
> [mm]n_0\in \mathbb{N},[/mm] so dass [mm]\forall n\ge n_0+k[/mm] gilt
> [mm]|a_n-a|
> Hi
>
> Wir haben die Aufgaben schon in der Übung besprochen, aber
> nachträglich ist mir das immernoch unklar.
>
> Wir haben gesagt
>
> Also i) ist auf jeden Fall nicht äquivalent. Sei
> [mm]a_n=\frac{1}{n},[/mm] diese konvergiert gegen 0. Für [mm]\epsilon[/mm]
> >0 muss es ein [mm]n_0 \in \mathbb{N}[/mm] geben mit
> [mm]\frac{1}{n_0}<\epsilon[/mm]
> Wählt man jetzt [mm]\epsilon=\frac{1}{n_0+1},[/mm] bekommt man
> einen Widerspruch:
> [mm]\frac{1}{n_0}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1<0.
> Kann man das so machen? [mm]\epsilon[/mm] muss doch beliebig
> bleiben?
Nehmen wir an, i) wäre äquivalent zur Def. der Konvergenz. Dann erfüllt die Folge (1/n) und a=0. die Bedingung i)
Dann gibt es also ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit:
1/n < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 und alle n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Also gilt auch 1/n < [mm] \bruch{1}{n_0+1} [/mm] für alle n [mm] \ge n_0
[/mm]
Für [mm] n=n_0 [/mm] bekommen wir den Unfug
[mm] \bruch{1}{n_0}< \bruch{1}{n_0+1}.
[/mm]
>
> Bei ii) haben wir als Gegenbeispiel [mm](a_n)=(-1)^n[/mm] und a=0,
> [mm]k=\frac{2}{\epsilon}. (a_n)[/mm] divergiert aber erfüllt ii).
>
> Stimmt das zu ii) überhaupt? Man kann doch nicht einfach
> sagen a=0?
Die Folge [mm](a_n)=(-1)^n[/mm] und a=0 erfüllen die Bedingung ii) !!!
> Ich hätte gedacht, dass ii) äquivalent zur Definition
> von Folgenkonvergenz ist
Ist es aber nicht.
FRED
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> Lg
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