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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Wei V ein Vektorraum und sei W [mm] \subset [/mm] V ein Teilraum. Definiere
v [mm] \sim [/mm] w [mm] \gdw [/mm] v - w [mm] \in [/mm] W
a) Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge {[v] | v [mm] \in [/mm] V} aller Äquivalenzklassen, zusammen mit [v] + [w] = [v+w] und a[v] = [av], für alle a [mm] \in [/mm] K und alle v,w [mm] \in [/mm] V einen Vektorraum bildet. |
a) Nach diversen Büchern muß ich folgendes zeigen:
v [mm] \sim [/mm] v
v [mm] \sim [/mm] w [mm] \gdw [/mm] w [mm] \sim [/mm] v
v [mm] \sim [/mm] w [mm] \wedge [/mm] w [mm] \sim [/mm] x => v [mm] \sim [/mm] x
Nur, wie genau macht man das?
b) Hier hab ich nicht mal ansatzweise nen plan, wie ich an die Aufgabe rangehen könnte...
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Hallo
zu a)
nun die 3 Eigenschaften, die du angegeben hast, sind
Reflexivität
Symmetrie und
Transitivität
Nun die Definition von ~ einsetzen und prüfen, ob die Punkte erfüllt sind:
zB Reflexivität
zz ist [mm] \forall v\in [/mm] W: v~v
Sei also [mm] v\in [/mm] W beliebig. Dann ist v~v = v-v = 0 [mm] \in [/mm] W, da W als VR den Nullvektor enthält
mit der Symmetrie und Transitivität geht's ähnlich, schau dir dazu nochmal
die Definition von nem VR an.
Dann geht das schon ;)
Gruß
schachuzipus
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Jo,
das habe ich etwas unsauber aufgeschrieben.
Also zur Reflexivität.
~ ist reflexiv , wenn v~v für alle v [mm] \in [/mm] W
also nimm ein beliebiges v [mm] \in [/mm] W.
Dann gilt v-v = 0 [mm] \in [/mm] W, also v~v
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:21 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
mhm, ich kriegs immer noch nicht hin...
i) v [mm] \sim [/mm] v:
v-v = 0 [mm] \in [/mm] W, soweit so gut..
ii) v [mm] \sim [/mm] w => w [mm] \sim [/mm] v :
v-w [mm] \in [/mm] W => w-v [mm] \in [/mm] W
iii) v [mm] \sim [/mm] w [mm] \wedge [/mm] w [mm] \sim [/mm] x => v [mm] \sim [/mm] x
v-w [mm] \in [/mm] W [mm] \wedge [/mm] w-x [mm] \in [/mm] W => v-x [mm] \in [/mm] W
Wie kann ich jetzt ii) und iii) ausrechnen? Sorry, wenn ich leicht dumm rüberkomm, ich bin halt informatiker und habs mit mathe einfach nicht so...
und bei der b) hab ich immer noch nullo plan...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du kannst verwenden, dass in einem Vektorraum W gilt:
wenn v in W ist, dann auch [mm] $\lambda [/mm] *v$ (insbesondere auch für [mm] $\lambda [/mm] =-1$ folgt : (-v) ist auch in W)
und wenn v und w in W sind, dann auch (v+w) in W
kommst du damit weiter?
(und keine Sorge : jeder von uns hat mal mit Mathe angefangen)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
okay, damit hab ich bei der a):
i) v [mm] \sim [/mm] v:
v - v = 0 [mm] \in [/mm] W
ii) v [mm] \sim [/mm] w [mm] \gdw [/mm] w [mm] \sim [/mm] v:
(v - w) [mm] \in [/mm] W [mm] \gdw [/mm] (w-v) [mm] \in [/mm] W:
(v-w)*(-1) = (-v+w) = (w-v) [mm] \in [/mm] W
stimmt doch so, oder?
ii)v [mm] \sim [/mm] w [mm] \wedge [/mm] w [mm] \sim [/mm] x => v [mm] \sim [/mm] x
Hier häng ich immer noch!
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Hi
benutze DaMenges Tipp
Mit 2 Vektoren a,b [mm] \in [/mm] W ist auch immer deren Summe a+b [mm] \in [/mm] W
also wenn v~w und w~x heißt das nach Definition ~ ....
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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