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[mm] a_{n}: \IN \to \IR [/mm] ; [mm] H(a_{n}) [/mm] bezeichne die Menge der Häufungspunkte von [mm] a_{n} [/mm]
z.z.: [mm] \overline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( a_{n})<\infty\gdw sup(\{a_{k}: k \in\ \IN}))<\infty
[/mm]
Bew.:
[mm] i)\Rightarrow: [/mm]
[mm] \lambda:=\overline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( a_{n})=sup(H(a_{n}))= \limes_{n\rightarrow\infty}(sup( \{ a_{k}:k \in \IN^{\ge n} \}))
[/mm]
[mm] A_{n}:=sup( \{ a_{k}:k \in \IN^{ \ge n} \}), [/mm] also: [mm] \lambda= \limes_{n\rightarrow\infty}( A_{n}) [/mm]
[mm] \gdw \forall \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \IN, \foralln\in\IN^{ \ge n_{0}} \Rightarrow |A_{n}- \lambda|< \varepsilon [/mm]
wg.: [mm] \forall n\in \IN: A_{n}\ge A_{n+1} \ge \limes_{n\rightarrow\infty}( A_{n})= \lambda \gdw A_{n}-\lambda \ge0 [/mm] ergibt Obiges:
[mm] \varepsilon \ge |\lambda-A_{n}|=A_{n}-\lambda \gdw A_{n}< \lambda+ \varepsilon
[/mm]
Aus: [mm] A_{n}:=sup( \{ a_{k}:k \in \IN^{ \ge n} \}) [/mm] folgt:
[mm] \forall k\in\IN^{ \ge n}: a_{k} \le A_{n} <\lambda+ \varepsilon<\infty \Box
[/mm]
[mm] ii)\Leftarrow: [/mm]
[mm] \forall n\in\IN: a_{n} \lesup( \{a_{n}:n \in \IN \}):= s_{o}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a(\gamma_{n}) \le s_{o}, a(\gamma_{n}) [/mm] sei eine beliebige Teilfolge.
und damit, sofern [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a(\gamma_{n})) [/mm] existiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a( \gamma_{n})) \le s_{o}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=\overline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( a_{n})=sup(H(a_{n})) \in H(a_{n}) \subset \IR^{ \le s_{o}} \Box
[/mm]
Bedeutet, dass die reelle Beschränkheit der Folge äquivalent ist mit er Existenz eines reellen Limes superior, woraus sämtliche Konvergenzkriterien von Reihen erwachsen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 06.02.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> z.z.: [mm]\overline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( a_{n})<\infty\gdw sup(\{a_{k}: k \in\ \IN}))<\infty
[/mm]
Sollen wir hier den Beweis überprüfen? Mir fallen spontan folgende Sachen auf: was wenn die Folge nach [mm]-\infty[/mm] abhaut? Dann wäre der Limsup auch [mm]-\infty[/mm]. Im ersten Beweisteil fehlt jedenfalls dann dieser Fall - der andere sieht richtig aus, auch wenn ein bisschen umständlich anmutet (du beweist alle Eigenschfaten des Limsups wieder ...). Beim zweiten Teil weiß ich nicht, was du mit der Folge willst. Aus [mm]x_n\le s< \infty[/mm] folgt doch sofort auch [mm]\forall h\in H(x_n):h\le s[/mm], und somit dann die Aussage für dne Limsup - wobei man auch uneigentliche Häufungspunkte wie [mm]-\infty[/mm] zulassen muss.
> Bedeutet, dass die reelle Beschränkheit der Folge
> äquivalent ist mit er Existenz eines reellen Limes
> superior, woraus sämtliche Konvergenzkriterien von Reihen
> erwachsen.
Also beschränkt ist die Folge ja damit nur nach oben - nach unten weiss man nichts. Ich verstehe nicht, wie du dass mit den Konvegrenzkriterien für Reihen in Verbindung bringen willst. Beispiel?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 So 06.02.2005 | | Autor: | Fibonacchi |
[mm] \underline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( a_{n}) \not=- \infty [/mm] war still schweigende Voraussetzung.
Einzelne Beweisschritte sind für den kontextualen Leser in der Tat Selbstmurmler, setzt man aber tiefer an, denke ich, sind sie dem Beweisnachvollzug nicht abträglich.
Ein Beispiel bezüglich der Verwertbarkeit des Satzes für Konvergenzkriterien von Reihen:
[mm] a_{n}: \IN \to \IR
[/mm]
[mm] b_{n}: \IN \to \IR^{+}
[/mm]
[mm] \overline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( \bruch{|a_{n}|}{b_{n}})<\infty \wedge \summe_{k \in\IN}^{}b_{k} \in \IR \Rightarrow \summe_{k \in\IN}^{}| a_{k}| \in \IR
[/mm]
[mm] \overline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( \bruch{|a_{n}|}{b_{n}})<\infty \gdw \exists s_{o} \in\IR \Rightarrow \forall n\in \IN: 0\le\bruch{|a_{n}|}{b_{n}} \le s_{o} \gdw 0\le\summe_{k \in \IN}^{}|a_{k}| \le s_{o}\summe_{k \in \IN}^{} b_{k}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 So 06.02.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\underline{ \limes_{n\rightarrow\infty}}( a_{n}) \not=- \infty[/mm]
> war still schweigende Voraussetzung.
Die aber in dem Kontext wohl nicht selbstverständlich ist.
> Einzelne Beweisschritte sind für den kontextualen Leser in
> der Tat Selbstmurmler, setzt man aber tiefer an, denke ich,
> sind sie dem Beweisnachvollzug nicht abträglich.
Bitte was?
> Ein Beispiel bezüglich der Verwertbarkeit des Satzes für
> Konvergenzkriterien von Reihen:
Gut, die empfinde ich aber nicht gerade als die Brüller - ich dachte her an: du hast [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit der Eigschft. geg. - wie setzt du dann Konv.krit für Reihen ein, um Eigschft. der Folge zu erhalten?
SEcki
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