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| Aufgabe | | Sei [mm] \Sigma [/mm] eine symmetrische invertierbare Matrix und A, B sind symmetrische Matirzen. |
Hallo zusammen,
angenommen es gilt [mm] $A\Sigma [/mm] B=0$. Kann man daraus folgern, dass AB=0 gilt?
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Was ist mit
[mm]\pmat{1&0\\0&0}\pmat{0&1\\1&0}\pmat{1&0\\0&0}[/mm]
?
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Hallo wieschoo,
fällt dir auch noch ein gegenbsp. ein, falls [mm] \Sigma [/mm] zusätzlich positiv definit sein soll? Und darf man deine linke und rechte Matrix als symmetrisch auffassen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Studiiiii |
so wie ich das sehe, sind alle Matrizen im Gegenbeispiel von wieschoo symmetrisch nach der definition von der Symmetrie von Matrizen.
Und wenn ich mich jetzt nicht irgendwo in meinem Kopf vertan habe sollte seine Sigma Matrix auch pos.definit sein. Da dessen Determinante 1 ist und 1 >0.
lg
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Die Eigenwerte sind doch [mm] \pm [/mm] 1 bzw. die Lösung der Gleichung [mm] \lambda^2-1=0. [/mm] Aber kann sein das ich mich irre.
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Hi,
[mm] $\pmat{0&1\\1&0}$ [/mm] ist nicht positiv definit.
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Das glaube ich auch. Kennst du noch ein Gegenbsp. mit einer p.d. Matrix?
Ich habe da noch eine Nebenfrage: Falls man sagt [mm] \Sigma [/mm] ist nicht singulär, dann meint man doch das [mm] \Sigma [/mm] invertierbar ist. Wenn man eine symmetrische nicht singuläre Matrix vorliegen hat, ist diese somit p.d.? Deine Matrix zeigt ja das dem nicht so ist.
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Aus positiv definit folgt stets invertierbar (nicht singulär).
Umgekehrt sollte es nicht gehen. Siehe
[mm] $\pmat{1&0\\0&-1}$
[/mm]
Sie ist invertierbar aber nicht positiv definit.
Zurück zur Frage:
Es gilt:
[mm]A:=\left( \begin {array}{ccccc} 0&0&0&0&0\\ \noalign{\medskip}0&1&0&0&0
\\ \noalign{\medskip}0&0&0&0&0\\ \noalign{\medskip}0&0&0&0&0
\\ \noalign{\medskip}0&0&0&0&0\end {array} \right) ^2\implies A^2=A[/mm]
Falls du eine positiv definite Matrix
[mm] $\pmat{?&?&?\\?&?&?\\?&?&0}$
[/mm]
basteln kannst, so hast du ein Gegenbeispiel.
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| Aufgabe | Ein k-dimensionaler Zufallsvektor $ X $ heißt k-variat normalverteilt, falls ein $ [mm] \mu\in\mathbb{R}^k [/mm] $ und ein $ [mm] L\in\mathbb{R}^{k\times m} [/mm] $ existiert mit $ rg(L)=m $, so dass $ [mm] X=LZ+\mu, [/mm] $ wobei $ [mm] Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T [/mm] $ und $ [mm] Z_i [/mm] $ $ [mm] \gls{IID} [/mm] $ sind mit $ [mm] Z_1\sim\mathcal{N}(0,1) [/mm] $.
In Zeichen schreibt man $ [mm] X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma) [/mm] $ mit $ [mm] \Sigma=LL^T [/mm] $. Ist $ k=m $, so sagt man, dass $ Y $ eine nicht singuläre Normalverteilung besitzt, andernfalls $ (k>m) $ ist $ X $ singuläre normalverteilt. |
Moin,
die Hinweise kann ich nicht so recht deuten, für eine invertierbare symmetrische Marix die nicht p.d. ist, hattest du doch schon das Bsp. [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] gegeben. Das mit der indempotenten Matrix verstehe ich nicht.
Zu meiner Zusatzfrage) Wenn man sagt:"Die Kovarianzmatrix für die normalverteilte ZG X wird als nicht singulär (und damit positiv definit) angenommen.", wie folgert man dann p.d.? Dazu müsste m.E. die Kovarianzmatrix als p.s. angenommen werden. Nun ist die Definition einer k-variaten ZG im Aufgabenteil gegeben. Woraus ergibt sich dann bei Wahl einer nicht singulären Kovarianzmatrix die positive Definitheit?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Sa 04.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi,
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> [mm]\pmat{0&1\\1&0}[/mm] ist nicht positiv definit.
nur mal nebenbei (vor allem an studiii): Das kann man sich auch sofort
ohne Eigenwerte überlegen:
[mm] $$(x_1,x_2)\pmat{0&1\\1&0}*\vektor{x_1\\x_2}=2x_1x_2\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $x_1=-1=-x_2$ [/mm] erkennt man das sofort.
Und erneut @studii: Positive Definitiheit hat etwas mit Eigenwerten zu tun.
Wenn Du Determinanten ins Spiel bringen willst, da gibt's dann Aussagen
mit sogenannten Hauptminoren. Schlag' das bitte nochmal nach, damit Du
da keinen Unfug treibst!
Gruß,
Marcel
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