Äquivalenz bijektive Funktion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Do 31.10.2013 | | Autor: | Puppet |
| Aufgabe | Sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen sie das folgende Aussagen äquivalent sind:
1. f(X/N) = Y/f(N) für alle N
2. f ist bijektiv |
Hallo liebe Freunde der Mathemathik,
die Aufgabe bereitet mir wirklich Kopfzerbrechen. Ich sehe aus der ersten Aussage einfach die bijektivität nicht. Als ersten ansatz hatte ich die Idee anzunehmen N [mm] \in \emptyset [/mm] und dann auf f(X) = Y zu kommen. Somit hätte ich doch die surjektivität oder?
Würde mich über eure Hilfe wirklich freuen.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f : X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Zeigen sie das folgende
> Aussagen äquivalent sind:
> 1. f(X/N) = Y/f(N) für alle N
Du meinst sicher . f(X [mm] \setminus [/mm] N) = Y [mm] \setminus [/mm] f(N) für alle N
> 2. f ist bijektiv
> Hallo liebe Freunde der Mathemathik,
>
> die Aufgabe bereitet mir wirklich Kopfzerbrechen. Ich sehe
> aus der ersten Aussage einfach die bijektivität nicht. Als
> ersten ansatz hatte ich die Idee anzunehmen N [mm]\in \emptyset[/mm]
> und dann auf f(X) = Y zu kommen. Somit hätte ich doch die
> surjektivität oder?
Ja.
>
> Würde mich über eure Hilfe wirklich freuen.
Es gelte 1. und wir zeigen: f ist injektiv. Dazu seien [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X und [mm] x_1 \ne x_2. [/mm] Zu zeigen ist: [mm] f(x_1) \ne f(x_2).
[/mm]
Setze [mm] N=\{x_1\}. [/mm] Dann ist [mm] x_2 \in [/mm] X \ N, also [mm] f(x_2) \in [/mm] Y \ [mm] \{f(x_1)\}.
[/mm]
Fazit: [mm] f(x_1) \ne f(x_2).
[/mm]
Jetzt versuch Du Dich mal an 2. [mm] \Rightarrow [/mm] 1.
FRED
>
> Lg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 31.10.2013 | | Autor: | Puppet |
Vielen Dank für deine Antwort.
Kannst du mir bitte nochmal erklären, warum ich einfach annehmen kann das N [mm] \in \emptyset [/mm] oder das ich einfach [mm] N=\{x_{1}\} [/mm] setzen kann?
Ich versuche 2. [mm] \Rightarrow [/mm] 1.
Gegeben ist die bijektive Funktion f : X $ [mm] \to [/mm] $ Y. Eine Abbildung f : X $ [mm] \to [/mm] $ Y ist genau dann bijektiv, wenn es für jedes [mm] y\inY [/mm] genau ein [mm] x\inX [/mm] mit f(x)=y gibt.
Sei nun N [mm] \subseteq [/mm] X und x [mm] \in X\backslash [/mm] N, dann folgt daraus das f(X $ [mm] \setminus [/mm] $ N) = Y $ [mm] \setminus [/mm] $ f(N).
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> Vielen Dank für deine Antwort.
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> Kannst du mir bitte nochmal erklären, warum ich einfach
> annehmen kann das N [mm]\in \emptyset[/mm] oder das ich einfach
> [mm]N=\{x_{1}\}[/mm] setzen kann?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da steht
"f(X [$ [mm] \setminus [/mm] $] N) = Y [$ [mm] \setminus [/mm] $] f(N) für alle N "
Gemeint ist "für alle [mm] N\subseteq [/mm] X".
Es gilt also: egal welche Teilmenge N von X ich nehme, immer ist f(X [$ [mm] \setminus [/mm] $] N) = Y [$ [mm] \setminus [/mm] $] f(N).
Da das für alle Teilmengen von X gilt, gilt es auch für die leere Menge, denn sie ist ja eine Teilmenge von X.
Und sofern es in X ein Element [mm] x_1 [/mm] gibt, ist auch [mm] \{x_1\} [/mm] eine Teilmenge von X, so daß die Aussage auch für diese Teilmenge stimmt.
> Ich versuche 2. [mm]\Rightarrow[/mm] 1.
>
> Gegeben ist die bijektive Funktion f : X [mm]\to[/mm] Y. Eine
> Abbildung f : X [mm]\to[/mm] Y ist genau dann bijektiv, wenn es
> für jedes [mm]y\inY[/mm] genau ein [mm]x\inX[/mm] mit f(x)=y gibt.
Ja.
Man kann es auch anders sagen:
1. sie ist surjektiv, dh. f(X)=Y
2. sie ist injektiv, dh
für [mm] x_1\not=x_2 [/mm] folgt [mm] f(x_1)\not=f(x_2)
[/mm]
bzw
für [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt [mm] x_1=x_2.
[/mm]
> Sei nun N [mm]\subseteq[/mm] X und x [mm]\in X\backslash[/mm] N, dann folgt
> daraus das f(X [mm]\setminus[/mm] N) = Y [mm]\setminus[/mm] f(N).
Verstehst Du, warum das so ist? Warum die Mengen f(X [mm] \setminus [/mm] N) und [mm] Y\setminus [/mm] f(N) gleich sind?
Wenn Du es verstehst, mußt Du es begründen,
und wenn Du keine Begründung hast, ist es kein Beweis...
Du schreibst ja einfach bloß hin, was Du zeigen möchtest!
Und was Du mit dem [mm] x\in X\setminus [/mm] N machen möchtest, verrätst Du auch gar nicht...
Du siehst, das war nichts.
Versuchen wir es also nochmal:
Es sei [mm] f:X\to [/mm] Y bijektiv.
Zu zeigen:
für alle [mm] N\subseteq [/mm] X gilt:
f(X [mm] \setminus [/mm] N) = [mm] Y\setminus [/mm] f(N).
Dazu ist zu zeigen:
i.
für alle [mm] N\subseteq [/mm] X gilt:
f(X [mm] \setminus [/mm] N) [mm] \subseteq Y\setminus [/mm] f(N)
ii.
für alle [mm] N\subseteq [/mm] X gilt:
[mm] Y\setminus f(N)\subseteq [/mm] f(X [mm] \setminus [/mm] N)
Beweis:
i.
Sei [mm] N\subseteq [/mm] X und [mm] y\in f(X\setminus [/mm] N).
Dann gibt es ein [mm] x\in X\setminus [/mm] N mit f(x)=y.
Wir wollen ja zeigen, daß [mm] y\in Y\setminus [/mm] f(N).
Angenommen, das wäre nicht der Fall.
Dann gäbe es ein [mm] x'\in [/mm] ... mit y=f(x').
Also wäre... ... ... ... ... ... ...
Dann noch
ii.
... ... ... ... ... ... ... ... ...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Vielen Dank für deine Hilfe,
so ganz sicher bin ich mir noch immer nicht aber ich fange einfach mal an
i.
Sei $ [mm] N\subseteq [/mm] $ X und $ [mm] y\in f(X\setminus [/mm] $ N).
Dann gibt es ein $ [mm] x\in X\setminus [/mm] $ N mit f(x)=y.
Wir wollen ja zeigen, daß $ [mm] y\in Y\setminus [/mm] $ f(N).
Angenommen, das wäre nicht der Fall.
Dann gäbe es ein $ [mm] x'\in [/mm] $ N mit y=f(x').
Also wäre [mm] y\in [/mm] f(N)
Da aber y [mm] \in [/mm] f(X [mm] \backslash [/mm] N) ist und x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] N
muss y [mm] \in [/mm] Y [mm] \backslash [/mm] f(N) sein.
ii. für alle $ [mm] N\subseteq [/mm] $ X gilt:
$ [mm] Y\setminus f(N)\subseteq [/mm] $ f(X $ [mm] \setminus [/mm] $ N)
Sei x [mm] \in [/mm] f(N) und y [mm] \in [/mm] Y [mm] \backslash [/mm] f(N)
Da die Bijektivität geben ist, ist auch die Surjektivität gegeben.
Sei nun [mm] f(x_{2}) \in [/mm] Y [mm] \backslash f(x_{1})
[/mm]
Demnach ist [mm] f(x_{1}) \not= f(x_{2}).
[/mm]
Dann müsste [mm] x_{1} \in [/mm] N und [mm] x_{2} \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] N damit [mm] x_{1} \not= x_{2}.
[/mm]
Daraus ergibt sich $ [mm] Y\setminus f(N)\subseteq [/mm] $ f(X $ [mm] \setminus [/mm] $ N).
Ich hoffe ihr könnt mich über falsche Gedankengänge aufklären.
LG
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> i.
> Sei [mm]N\subseteq[/mm] X und [mm]y\in f(X\setminus[/mm] N).
>
> Dann gibt es ein [mm]x\in X\setminus[/mm] N mit f(x)=y.
>
> Wir wollen ja zeigen, daß [mm]y\in Y\setminus[/mm] f(N).
>
> Angenommen, das wäre nicht der Fall.
> Dann gäbe es ein [mm]x'\in[/mm] N mit y=f(x').
> Also wäre [mm]y\in[/mm] f(N).
Hallo,
> Da aber y [mm]\in[/mm] f(X [mm]\backslash[/mm] N) ist und x [mm]\in[/mm] X [mm]\backslash[/mm] N
> muss y [mm]\in[/mm] Y [mm]\backslash[/mm] f(N) sein.
Diese Argumentation verstehe ich nicht.
Es sollte auch für Dich irritierend sein, daß Du die Voraussetzung "fist bijektiv" gar nicht verwendet hast. Sowas ist meist ein schlechtes Zeichen...
Du hattest oben f(x)=y und f(x')=y,
also f(x)=f(x').
Nun mach mal weiter.
>
> ii. für alle [mm]N\subseteq[/mm] X gilt:
> [mm]Y\setminus f(N)\subseteq[/mm] f(X [mm]\setminus[/mm] N)
>
> Sei x [mm]\in[/mm] f(N) und y [mm]\in[/mm] Y [mm]\backslash[/mm] f(N)
Wofür brauchst Du dieses x?
>
> Da die Bijektivität geben ist, ist auch die Surjektivität
> gegeben.
> Sei nun [mm]f(x_{2}) \in[/mm] Y [mm]\backslash f(x_{1})[/mm]
??? Woher kommen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2?
[/mm]
Meinst Du [mm] f(x_2)\in Y\setminus \{f(x_1)\}?
[/mm]
> Demnach ist
> [mm]f(x_{1}) \not= f(x_{2}).[/mm]
> Dann müsste [mm]x_{1} \in[/mm] N und
> [mm]x_{2} \in[/mm] X [mm]\backslash[/mm] N damit [mm]x_{1} \not= x_{2}.[/mm]
Kapiere ich nicht.
> Daraus
> ergibt sich [mm]Y\setminus f(N)\subseteq[/mm] f(X [mm]\setminus[/mm] N).
Sehe ich nicht.
Versuchen wir's nochmal.
> ii. für alle [mm]N\subseteq[/mm] X gilt:
> [mm]Y\setminus f(N)\subseteq[/mm] f(X [mm]\setminus[/mm] N)
Bew.: sei [mm] N\subseteq [/mm] X und [mm] y\in Y\setminus [/mm] f(N).
Wir müssen nun zeigen, daß y auch in [mm] f(X\setminus [/mm] N) ist.
Angenommen, y wäre nicht in [mm] f(X\setminus [/mm] N).
Da f surjektiv ist, muß dann [mm] y\in [/mm] ... sein.
...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 03.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Puh, danke das du mich nicht aufgibst.
Also nochmal zu
i. Sei $ [mm] N\subseteq [/mm] $ X und $ [mm] y\in f(X\setminus [/mm] $ N).
Dann gibt es ein $ [mm] x\in X\setminus [/mm] $ N mit f(x)=y.
Wir wollen ja zeigen, daß $ [mm] y\in Y\setminus [/mm] $ f(N).
Angenommen, das wäre nicht der Fall.
Dann gäbe es ein $ [mm] x'\in [/mm] $ N mit y=f(x').
Also wäre $ [mm] y\in [/mm] $ f(N).
Daraus folg das f(x)=y und f(x')=y,
also f(x)=f(x').
Da f bijektiv ist muss f auch injektiv sein.
Das heißt da f(x)=f(x'), muss auch x=x'
Da aber $ [mm] x\in X\setminus [/mm] $ N und x' [mm] \in [/mm] N
muss [mm] x\not=x'. [/mm] Das zeigt das die Annahme falsch ist und
$ [mm] N\subseteq [/mm] $ X und $ [mm] y\in f(X\setminus [/mm] $ N)
ii.
für alle $ [mm] N\subseteq [/mm] $ X gilt:
> $ [mm] Y\setminus f(N)\subseteq [/mm] $ f(X $ [mm] \setminus [/mm] $ N)
Bew.: sei $ [mm] N\subseteq [/mm] $ X und $ [mm] y\in Y\setminus [/mm] $ f(N).
Wir müssen nun zeigen, daß y auch in $ [mm] f(X\setminus [/mm] $ N) ist.
Angenommen, y wäre nicht in $ [mm] f(X\setminus [/mm] $ N).
Da f surjektiv ist, muß dann $ [mm] y\in [/mm] $ f(N) sein.
Da auch $ [mm] y\in Y\setminus [/mm] $ f(N) muss die Annahme falsch sein und
y [mm] \in [/mm] $ [mm] f(X\setminus [/mm] $ N).
Hoffe das ich noch einmal Hilfe bekomme.
LG Puppet
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> Puh, danke das du mich nicht aufgibst.
Hallo,
so leicht geben wir hier nicht auf.
>
> Also nochmal zu
>
> i. Sei [mm]N\subseteq[/mm] X und [mm]y\in f(X\setminus[/mm] N).
>
>
> Dann gibt es ein [mm]x\in X\setminus[/mm] N mit f(x)=y.
>
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> Wir wollen ja zeigen, daß [mm]y\in Y\setminus[/mm] f(N).
>
> Angenommen, das wäre nicht der Fall.
> Dann gäbe es ein [mm]x'\in[/mm] N mit y=f(x').
> Also wäre [mm]y\in[/mm] f(N).
>
> Daraus folg das f(x)=y und f(x')=y,
> also f(x)=f(x').
> Da f bijektiv ist muss f auch injektiv sein.
> Das heißt da f(x)=f(x'), muss auch x=x'
> Da aber [mm]x\in X\setminus[/mm] N und x' [mm]\in[/mm] N
> muss [mm]x\not=x'.[/mm] Das zeigt das die Annahme falsch ist.
Also ist
> [mm]y\in f(X\setminus[/mm] N)
>
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>
> ii.
>
> für alle [mm]N\subseteq[/mm] X gilt:
> > [mm]Y\setminus f(N)\subseteq[/mm] f(X [mm]\setminus[/mm] N)
>
> Bew.: sei [mm]N\subseteq[/mm] X und [mm]y\in Y\setminus[/mm] f(N).
>
> Wir müssen nun zeigen, daß y auch in [mm]f(X\setminus[/mm] N)
> ist.
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> Angenommen, y wäre nicht in [mm]f(X\setminus[/mm] N).
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> Da f surjektiv ist, muß dann [mm]y\in[/mm] f(N) sein.
>
> Da auch [mm]y\in Y\setminus[/mm] f(N) muss die Annahme falsch sein
> und
> y [mm]\in[/mm] [mm]f(X\setminus[/mm] N).
>
> Hoffe das ich noch einmal Hilfe bekomme.
Ich bin zufrieden jetzt.
LG Angela
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> LG Puppet
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