Äquivalenz bzgl. Nullstellen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich möchte folgende Äquivalenz zeigen:
1: $f [mm] \in \mathbb{R}[x]$ [/mm] hat eine mehrfache Nullstelle
2: $f$ und $f'$ haben eine gemeinsame Nullstelle |
Von 1 auf 2
Es gibt also ein $r [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und ein $s [mm] \in \mathbb{R}[x] \backslash [/mm] 0$ sodass $f = [mm] (x-r)^2 \cdot [/mm] s$. Dann ist aber $f' = 2(x-r) [mm] \cdot [/mm] s + [mm] (x-r)^2 \cdot [/mm] s'$ und folglich $f'(r) = 0$.
Ich weiß zwar nichts vom Grad der Funktion f, aber aufgrund der Vielfachheit der Nullstelle muss sie ja mindestens Grad 2 besitzen. Für alle Funktionen mit höherem Grad ergibt sich ja im Beweis das gleich Ergebnis, oder?
Von 2 auf 1:
Sei $r [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] die gemeinsame Nullstelle. Dann gibt es wieder ein $s [mm] \in \mathbb{R}[x] \backslash [/mm] 0$ sodass $f = [mm] (x-r)\cdot [/mm] s$ und folglich $f' = s + [mm] (x-r)\cdot [/mm] s'$.
Zeigen möchte ich nun selbstverständlich die Aussage 1. Wünschenswert wäre etwas in dieser Art:
Es gibt eine bestimmte Darstellung von $s$ sodass $s = 0$ mit der Nullstelle $r$, also etwa $ s = [mm] (x-r)\cdot s_2$
[/mm]
Aber ich sehe nicht, dass sich eine solche Darstellung 'einfach so' ergibt.
Für jegliche Hinweise, Korrekturen, Alternativvorschläge, Ergänzungen usw. usf. bin ich selbstredend sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Di 25.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn du weißt, dass eine Nullstelle r von f die Darstellung $ f(x)=(x-r)*s(x) $ gestattet, dann kannst du doch in $ f' = s + [mm] (x-r)\cdot [/mm] s' $ für x den Wert r einsetzten, erhälst s(r)=0 und damit dein gewünschtes Ergebnis.
Gruß Sax.
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Hallo,
danke, das passt :)
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